De verdelingsfunctie van aandelenreturns

De beurs voorspellen? Het is mogelijk!

Steeds zal het iemands bedoeling zijn om een comfortabele return te krijgen op het geld dat hij/zij zal beleggen. Met return bedoelen we het percentage groei van een effect, eventueel met dividenden, over een bepaalde periode. Risico en return zijn twee samenhangende componenten bij de prestaties van beleggingen. Wanneer iemand zijn gewenste return weet, weet hij ook het risico die aan de bepaalde belegging verbonden is. De return van beleggingen kan het beste worden beschreven volgens een verdelingsfunctie. Een verdelingsfunctie is de weergave van het verloop van een toevalsvariabele. We gaan net die functie gebruiken om de beurs te gaan voorspellen.

Een belangrijk punt is dat we als belegger meer geïnteresseerd zijn in de return van een aandeel dan in de prijs. Bedenk twee effecten met respectievelijke waarde 5 en 50. De keuze tussen een van beide zal vrij moeilijk zijn door een gebrek aan informatie. Maak vervolgens de selectie tussen twee effecten met een return van 5% of van 50%. Die keuze zal een stuk eenvoudiger zijn.

Een ander belangrijk punt is dat prijsveranderingen geen autocorrelatie bevatten (en aandelenprijzen wel). Autocorrelatie meet de samenhang van opeenvolgende elementen in een tijdsreeks. Wanneer een reeks data deze eigenschap in zich heeft, is het volgende element uit de reeks veel eenvoudiger te voorspellen. Het negatieve van die eigenschap is dat er veel statistische toetsen niet meer kunnen uitgevoerd worden. Dit is een tweede reden waarom we gebruik maken van prijsveranderingen i.p.v. prijzen op zich.

Normale verdeling

De traditionele finance-theorieën gaan uit van een normale verdeling als onderliggende verdelingsfunctie. Dit komt doordat de normale verdeling enkele aangename eigenschappen in zich heeft. Los van zijn eenvoud, is de som van twee normaal verdeelde toevalsvariabelen ook normaal verdeeld. Dit is handig wanneer we verschillende aandelen bekijken, we ook de portefeuille in zijn totaliteit op dezelfde manier kunnen behandelen. Daarnaast heeft de normale verdeling ook de eigenschap dat data met voldoende elementen en een (redelijk) normaal verdeelde vorm, volgens de centrale limietstelling bij benadering normaal verdeeld zijn.

Het failliet van de normale verdeling

Hoewel de normale verdeling dus een erg interessante oplossing lijkt, blijkt dit in realiteit echter niet van toepassing te zijn. De eerste aanval op deze assumptie werd reeds in 1963 door Mandelbrot geplaatst. Hij stelde dat de verdeling van prijsveranderingen een significant hogere piek heeft tegenover de normale verdeling. Een bepaalde reden waarom de normale verdeling niet voldoet als beschrijving, komt door de “staarten” van de verdeling. De staart van de verdeling geeft informatie over de kans op een enorm groot of klein resultaat. Binnen de normale verdeling wordt dit erg onderschat. Hoewel het in werkelijkheid meermaals kan voorkomen dat de beurs bijvoorbeeld 20% zou dalen, wordt die kans volgens de verdeling slechts minimaal beschouwd. Hiervoor moeten we dus een nieuwere verdeling zoeken.

Wanneer we die conclusies toetsen op de Eurostoxx 50, komen we tot gelijkaardige resultaten. Zowel via een statistische tests, als via een relatieve frequentietest, moeten we de hypothese van normale verdeling verwerpen. Het bleek dat er meer relatieve frequentie zat binnen 0 en 1.5 standaardafwijkingen weg van het gemiddelde, wat dus in een hogere piek resulteert (cfr. figuur 1).

Lévy processen

We zijn dus op zoek naar processen of modellen die de (financiële) realiteit beter benaderen én bruikbaar zijn in de analyse. De gewenste verdeling moet: (1) extreme gebeurtenissen beter in kaart brengen, (2) een semi-zware staart heeft en (3) de mogelijkheid heeft tot sprongen in zowel aandelenkoersen, als in volatiliteit. Een vaak voorgestelde oplossing zijn dan de Lévy processen. Er bestaan echter verschillende varianten, zoals het variance gammaproces van Madan en Senata. Dergelijke processen stappen af van de normale verdeling als de onderliggende verdelingsfunctie van aandelenrendementen. Dit houdt in dat de financiële realiteit veel beter kan worden voorgesteld en dat het beter geïmplementeerd kan worden. In ons geval kunnen we de beurs dan veel consistenter en preciezer gaan voorspellen.

Simulatie

We simuleren we het variance gammamodel voor respectievelijk één en twee weken uit 2001. Voor de simulatie van het VG-model laten we het proces 5000 keer doorlopen om zo het beste resultaat eruit te halen. We geven in figuur 2 het gesimuleerde en werkelijke koersverloop grafisch weer.

Wanneer we gebruik maken van simulaties op basis van respectievelijk één en twee weken komen we tot enorm goede resultaten. Hoewel we de exacte koersevolutie niet kunnen voorspellen, liggen de twee eindwaarden wel erg dicht bij wat de gesimuleerde koersevolutie ons geeft. Voor de simulatie van één week zitten we slechts €5 van de werkelijke koersevolutie, bij de simulatie van twee weken zien we een verschil van slechts €3. Kim (1986) wees op het feit dat rationaliteit (of irrationaliteit) van beleggers iets was wat, vanuit een wiskundig standpunt, onmogelijk in kaart kon gebracht worden. We verwijzen naar Lo (2004) die binnen het concept adaptive markets hypothese meer gebruikt maakte van behavioral finance. Dit menselijk gegeven is iets wat we niet in het variance gammamodel hebben verwerkt.

Besluit

De conclusie is dat het variance gammaproces de beste simulaties gaf, hoewel de verdeling niet de beste beschrijving is voor de index. We kunnen die simulaties echter niet gebruiken voor de exacte beschrijving van de koersevolutie aangezien het menselijke aspect quasi onmogelijk in kaart te brengen valt. Hoewel het verschil minder dan €3 bedraagt, is dit verschil te groot om precieze analyses op toe te passen. Echter geeft het wel het juiste verloop weer van de index. Dus er zit hoge graad van voorspellende kracht in het model.

Dit wil daarom niet zeggen dat deze meesterproef gefaald is zijn opzet. De verdelingsfunctie van returns blijkt nog frequent gebruikt te worden als bijvoorbeeld een assumptie voor de prijszetting van afgeleide producten. Vooral het variance gammamodel wint steeds meer aan interesse als het onderliggende model binnen de financiële wiskunde.