A Clifford analysis approach to higher spin fields

Matthias
Roels

Fysica als wiskundig laboratorium

Een van de facetten van de moderne fysica is het bestuderen van elementaire deeltjes, de bouwstenen van ons universum op microscopische schaal. Net zoals vallende appels worden beschreven door de wetten van Newton, zo worden ook elementaire deeltjes beschreven door bepaalde bewegingsvergelijkingen. Dit zijn wiskundige vergelijkingen die ons in staat stellen om het gedrag van deeltjes te voorspellen. In tegenstelling tot vallende appels hebben elementaire deeltjes echter naast de gebruikelijke ruimtelijke vrijheidsgraden (objecten kunnen bewegen in alle mogelijke richtingen) ook een aantal interne vrijheidsgraden. Denk bijvoorbeeld aan de elementaire lading van een deeltje (waarbij we de quarks en hun fractionele lading voor de eenvoud buiten beschouwing laten): dit is een eigenschap met drie mogelijke labels (positief, neutraal of negatief). Bij elk van de interne vrijheidsgraden hoort evenzeer een label dat dan varieert over een eindig aantal mogelijkheden: dit zijn de zogenaamde kwantumgetallen van het deeltje.

Een typisch voorbeeld is het spin-kwantumgetal van een elementair deeltje: dit is een label dat iets zegt over het inwendige draaimoment (deze vrijheidsgraad staat beter bekend als de spin). Deeltjes met spin ½ bijvoorbeeld, zoals het elektron, hebben als eigenschap dat men de spin in een willekeurige richting kan meten (dit gebeurt aan de hand van magneetvelden), en dat levert telkens één van twee mogelijkheden met gelijke waarschijnlijkheid op. Vanuit wiskundig standpunt zegt men dan dat het elektronveld (de oplossing voor de bewegingsvergelijking die dit deeltje beschrijft) waarden aanneemt in een tweedimensionale representatie. Om het onderwerp van mijn thesis te situeren moeten we iets dieper ingaan op de betekenis van voorgaande zin, en daarvoor hebben we een cruciaal begrip nodig uit de moderne fysica: symmetrie.

Neem bijvoorbeeld de symmetrieën van een vierkant: dit zijn alle transformaties die men op een vierkant kan uitvoeren zonder daarbij 'iets te veranderen'. Zo kan men een vierkant draaien over veelvouden van 90 graden, of spiegelen over een diagonaal: elk van deze transformaties laat het vierkant ongewijzigd. Wanneer men nu al deze transformaties samen bekijkt, bekomt men een zekere wiskundige structuur (in dit geval een zogenaamde groep). Dit betekent dat er extra voorwaarden voldaan zijn die ervoor zorgen dat de groep meer is dan 'zomaar' een verzameling.

Niet alleen meetkundige figuren hebben symmetrieën, ook de fysisch relevante vergelijkingen hebben als eigenschap dat men transformaties kan uitvoeren die ze invariant laten. Zo zijn bijvoorbeeld de wetten van Newton overal in het universum gelijk: dit betekent dat de geassocieerde vergelijkingen invariant blijven onder translaties. Zoals te verwachten bekomt men ook hier een groep van symmetrieën, alleen is die iets moeilijker omdat er in tegenstelling tot de acht symmetrie-transformaties van het vierkant oneindig veel transformaties bestaan die de vergelijkingen van Newton invariant laten. Gelukkig hebben wiskundigen ook hier een uitweg gevonden: hoewel de groep oneindig veel elementen bevat, worden die allemaal voortgebracht door een eindig aantal elementen in een andere wiskundige structuur, de zogenaamde Lie-algebra, die dus in zekere zin fundamenteler is.

Voor massaloze elementaire deeltjes werkt men met de conforme Lie-algebra, waarvan de elementen hoekgetrouwe transformaties genereren. Zoals de naam doet vermoeden zijn dit alle transformaties die men kan uitvoeren zonder hoeken te vervormen: translaties (overal in het universum dezelfde wetten, net zoals bij Newton), rotaties, dilataties (uitrekken of inkrimpen) en inversies. Nu is het zo dat men in de abstracte algebra alle objecten heeft geclassificeerd waarop deze transformaties kunnen inwerken: dit zijn de zogenaamde representaties. Concreet wil dat zeggen dat als een fysische vergelijking invariant is onder de transformaties van hierboven, dat dan de bijhorende oplossing tot een van die representaties moet behoren. Bovendien is het zo dat elke representatie wordt vastgelegd door een uniek getal (de dimensie), en vanuit fysisch standpunt is dat niets anders dan het aantal inwendige vrijheidsgraden. Op die manier voorspelt de wiskunde achter de onderliggende symmetrie in feite de mogelijke elementaire deeltjes. Het deelgebied van de fundamentele wiskunde waarin dan de bewegingsvergelijkingen voor deze deeltjes wordt bestudeerd, noemt men de hogere-spin theorie. Recentelijk heeft deze theorie aan populariteit gewonnen, zowel bij wiskundigen als (theoretische) fysici. Zo wordt ze onder andere gebruikt om de gravitatiekracht op zeer kleine lengteschalen te bestuderen (kwantum-gravitatie).

In het eerste deel van de scriptie werd een verband gelegd tussen de eerder vermelde representaties van de conforme Lie-algebra en meer concrete objecten waarop technieken uit de zogenaamde Clifford-analyse (C-A) kunnen toegepast worden. Dit deelgebied van de klassieke analyse vormt het perfecte kader om de Dirac-operator (ingevoerd door Dirac in 1928, om de bewegingsvergelijking van het elektron te beschrijven) te veralgemenen naar willekeurige dimensie.  Dit is niet zomaar een wiskundige curiositeit: in sommige takken van de theoretische fysica heeft men meer dan de 4 gebruikelijke dimensies nodig (ruimte en tijd) om tot een consistente theorie te komen, denk maar aan de snaartheorie. Tot voor kort bestudeerde men voornamelijk eigenschappen van de Dirac-operator in C-A, maar enkele jaren geleden bleek dat ook andere deeltjes met halftallige spin binnen dit kader succesvol kunnen worden beschreven. Op die manier vond C-A dus haar plaats in de hogere-spin theorie.

In deze thesis werd dan aangetoond hoe ook bewegingsvergelijkingen voor deeltjes met willekeurige geheeltallige spin, zoals het foton (drager van de elektromagnetische kracht) en het graviton (drager van de gravitatiekracht), succesvol kunnen bestudeerd worden in willekeurige dimensies, door ze te veralgemenen naar C-A. In eerste instantie werden massaloze oplossingen bestudeerd, waarbij er geen interacties tussen de verschillende elementaire deeltjes werden verondersteld. Vervolgens werd de zogenaamde fundamentele oplossing of Greense functie geconstrueerd, welke kan gebruikt worden om de waarschijnlijkheid te berekenen dat een elementair deeltje van de ene plaats naar een andere voortbeweegt binnen een bepaalde tijd. Tenslotte is het de bedoeling om in verder onderzoek het verband tussen deeltjes met geheeltallige en halftallige spin bloot te leggen, op basis van analytische eigenschappen van de corresponderende bewegingsvergelijkingen. Op die manier kan dan een verband gelegd worden tussen twee abstracte theorieën die allebei geïnspireerd werden door de fysica, het laboratorium voor de wiskundige...

Bibliografie

  • Bade, W. L., Jehle, H., An Introduction to Spinors, Rev. Mod. Phys. 25, 714-728, (1953).
  • Brackx, F., Delanghe, R., Sommen, F., Clifford Analysis, Research Notes in Mathematics 76, Pitman, London, (1982).
  • Branson, T., Stein-Weiss operators and ellipticity, J. Funct. Anal. 151 (2), 334-383, (1997).
  • Burěs, J., Sommen, F., Souček, V., Van Lancker, P., Rarita-Schwinger type operators in Clifford analysis, Journal of Funct. Anal. 185, 425-456, (2001).
  • Cartan, E., Sur la determination d'un système orthogonal complet dans un espace de Riemann symétrique clos, Rend. Circ. Mat. Palermo 53, 217-252, (1929).
  • Delanghe, R., Sommen, F., Soucek, V., Clifford analysis and spinor valued functions, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, (1992).
  • De Bie H, Harmonic and Clifford analysis in superspace, Phd thesis, Ghent university, (2009).
  • De Bie H, Sommen F, Spherical harmonics and integration in superspace, J. Phys. A:Math. Theor. 40, 7193-7212, (2007).
  • De Bie H, D. Eelbode, F. Sommen, Spherical harmonics and integration in superspace II, J. Phys. A: Math. Theor. 42 242001-245307 (18pp), (2009).
  • Dirac, P. A. M., The Quantum Theory of the Electron, Proc. Roy. Soc., A 117, 610-624, (1928).
  • Dirac, P.A.M., Relativistic wave equations, Proc. Roy. Soc., A 155, 447-459, (1936).
  • Eelbode, D., Clifford algebras en hogere functietheoriën, UA Cursus, eerste druk (2011-2012).
  • Fegan, H. D., Conformally invariant first order differential operators, Quart. J. Math. 27, 513-538, (1976).
  • Fischer, E., Über die Differentiationsprozesse der Algebra, J. für Math. 148, 1-78, (1917).
  • Folland G, How to integrate a polynomial over a sphere, Amer. Math. Monthly, 108 (5), 446-448, (2001).
  • Friedrich, T., Dirac operators in Riemannian geometry, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, (2000).
  • Fulton, W., Harris, J., Representation theory: a first course, Springer-Verlag, New York, (1991).
  • Gilbert, J., Murray, M., Clifford Algebras and Dirac Operators in Harmonic Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, (1991).
  • Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer GTM, (2003).
  • Howe, R., Dual Pairs in Physics: Harmonic Oscillators, Photons, Electrons and Singletons, Lect. Appl. Math. 21, Am. Math. Soc., 179-207, (1985).
  • Howe, R., Tan, E-C., Willenbring, J., Reciprocity Algebras and Branching for Classical Symmetric Pairs, Groups and analysis, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 354, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2008).
  • Humphreys, J. E., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics 9, Springer, New York, (1972).
  • Infeld, L., Van der Waerden, B. L., Die Wellengleichung des Elektrons in der allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzber. preuss. Akad. Wiss., Physik- math. Kl. 9, 380, (1933).
  • Klimyk, A. U., Infinitesimal operators for representations of complex Lie groups and Clebsch-Gordan coefficients for compact groups, J. Phys. A: Math. Gen. 15, 3009-3023, (1982).
  • Molev, A., Yangians and classical Lie algebras, Mathematical Surveys and Monographs 143. American mathematical Society, Providence, Rhode Island, (2007).
  • Pizzetti P, Sulla media dei valori che una funzione dei punti dello spazio assume alla supercie di una sfera, Rend. Lincei 18, 182-185, (1909).
  • Mühlhoff, R., Higher spin fields on curved spacetimes, Master thesis, University of Leipzig, (2007).
  • Naimark, M.A., Linear representations of the Lorentz group, Pergamon, Oxford, (1964)
  • Penrose, R., Rindler, W., Spinors and space-time: Volume 1, Two-spinor Calculus and Relativistic Fields, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, Cambridge, (1984).
  • Pilca, M., A representation-theoretical proof of Branson's classification of elliptic generalized gradient, Differential Geom. Appl., 29, 188-195, (2011).
  • Rarita, W., Schwinger, J., On a theory of particles with half-integral spin, Phys. Rev., 60, 61, (1941).
  • Stein, E.W., Weiss, G., Generalization of the Cauchy-Riemann equations and representations of the rotation group, Amer. J. Math. 90, 163-196, (1968).
  • Tolstoy, V.N., Fundamental system of the extremal projectors for sl(2), Group Theoretical Methods in Fundamental and Applied Physics (Vladivostok 1986), 258-259, Nauka, Moscow (1988).
  • Van de Voorde, L., Higher spin dirac operators in two vector variables, Phd thesis, Ghent university, (2011).
  • Van der Waerden, B. L., Spinoranalyse, Nachr. Akad. Wiss. Göting., Math.-Physik Kl, 100-109, (1929).
  • Van Lancker, P., Sommen, F., Constales, D., Models for irreducible representations of Spin(m), Adv. Appl. Clifford Algebr. 11, 271-289, (2001).
  • Van Lancker, P., Monogenic Fischer decomposition: two vector variables, Complex Anal. Oper. Theory 6, 425-446, (2012).
Universiteit of Hogeschool
Universiteit Antwerpen
Thesis jaar
2013
Kernwoorden