Ook op de Zon stormt het regelmatig. Tijdens een zonnestorm verstoort de impact van atomen en vrije elektronen het evenwicht in de corona, de buitenste laag van de zonneatmosfeer. Aangezien we met onze telescopen niet dicht genoeg bij de zon kunnen komen om rechtstreeks de effecten van deze verstoringen te meten, zijn wiskundige modellen nodig om de impact van zulke verstoringen in de corona te voorspellen. In mijn masterthesis breid ik de bestaande modellen van de corona uit en laat zo zien dat een groep van lussen in de corona een effectieve schokdemper kan zijn voor zonnestormen. Net als de Aarde heeft ook de Zon een gelaagde atmosfeer. Wie met het blote oog of een telescoop (en de nodige bescherming) naar de zon kijkt, merkt hier niet zoveel van omdat het felle licht van de fotosfeer (de onderste laag van de zonneatmosfeer) het licht uitgezonden door de andere lagen overstelpt. Moderne telescopen kijken vanuit de ruimte naar de Zon en kunnen straling meten die de Zon op verschillende golflengten uitzendt. Aan de hand van deze informatie stellen deze detectoren een beeld op van de Zon zoals ze er in een bepaalde golflengte uit ziet. Iedere golflengte correspondeert met een andere laag van de zonneatmosfeer. Het Solar Dynamics Observatory (SDO), gelanceerd door NASA in 2010, levert ons spectaculaire beelden van de zonneatmosfeer zoals te zien in de bijgevoegde figuur. Dit beeld is gemaakt op een golflengte van 17 nanometer, wat tien maal korter is dan de golflengte van zichtbaar licht. Het toont de buitenste laag van de atmosfeer, de corona. We weten reeds ruim een halve eeuw dat de Zon een sterk magnetisch veld bezit. Door de hoge temperaturen in de corona worden de elektronen in het gas waaruit de Zon bestaat er losgekoppeld van kun atoomkern, aldus wordt het gas elektrisch geleidend. We noemen dit gas een plasma. Het plasma in de corona volgt de lusvormige contouren van het magnetische veld. De beelden die we ontvangen van SDO kunnen dus worden geïnterpreteerd als een blauwdruk van het magnetische veld van de Zon. Niet altijd kan het magnetische veld het plasma gevangen houden in de corona. Regelmatig ontsnappen er deeltjes van het oppervlak. Dit kan geleidelijk gebeuren, zoals in de zonnewind, of abrupter, wat gebeurt bij zonnestormen. Wanneer deze deeltjes op de Aarde inslaan ontstaat aan de polen het noorderlicht, maar kunnen ook grote stroompannes veroorzaakt worden. De impact die zulke verstoringen hebben op de corona leert ons iets over de karakteristieken van deze stormen en helpt ons deze stormen te voorspellen. Langs de andere kant leren astrofysici veel over de aard van de corona zelf door haar reactie op zonnestormen te bestuderen. Aangezien het niet mogelijk is een telescoop dicht genoeg bij de Zon te brengen om deze effecten direct te meten, maken we wiskundige modellen van de corona en vergelijken deze met observaties die we tijdens een zonnestorm zien, om zo een beter inzicht te krijgen in de structuur van de corona zelf. De eerste wiskundige modellen van de corona, ontwikkeld in de jaren `70 en `80, stellen een coronale lus voor als een enkele cylinder en bestuderen dan de verschillende magnetische golven die er kunnen worden opgewekt. Uit deze studies kwam naar voor dat verstoringen, zoals deze afkomstig van een zonnestorm, gedeeltelijk worden gedempt aangezien een deel van de energie via het magnetische veld terug naar het oppervlak geleid wordt. In mijn thesis aan het departement Wiskunde van de KU Leuven stel ik een wiskundig model voor van een cluster van coronale lussen zoals deze in beelden van SDO te zien zijn, waarin golven ontstaan na verstoring door een storm. Hierbij bouw ik verder op een model voor twee identieke lussen dat in 2011 in Sheffield werd ontwikkeld door D. Robertson and M. Ruderman. Ik laat zien dat lussen die in groep voorkomen en die niet identiek hoeven te zijn kunnen `samenwerken' om een verstoring efficiënter te dempen dan een individuele lus. Daarnaast toon ik aan dat golven met een kortere golflengte sneller gedempt kunnen worden dan golven wiens golflengte langer is. De samenwerking tussen de lussen wordt beïnvloed door de dichtheid van het plasma in de lussen waaruit het systeem is opgebouwd. Als het dichtheidsverschil te groot is, zal het systeem ontkoppeld worden, terwijl lussen wiens dichtheid gelijkaardig is eerder samen zullen trillen en de verstoring terug naar het oppervlak kunnen omleiden. Ten slotte heb ik opgemerkt dat wanneer de dichtheid in een van de lussen verandert, het mogelijk is dat de ene lus zijn eigenschappen doorgeeft aan de andere. In dit aspect is er een verrassende analogie tussen de interactie van coronale lussen en die van atomaire systemen. Observaties laten inderdaad zien dat een systeem van lussen als groep oscilleert. De nieuwe theorie over de dempingseigenschappen van groepen van lussen die ik gevonden heb is voorlopig met de huidige telescopen moeilijk te valideren. Dit komt omdat de telescopen nog niet genoeg onderscheid kunnen maken tussen twee golven met gelijkaardige frequenties. Mijn thesis zou kunnen leiden tot betere voorspellingen van de dichtheden in coronale lussen door theorie en observaties te vergelijken.
% Bibliografie in te lezen met LaTeX %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{thebibliography}{3}{\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliography} \bibitem{Andries2003} Andries, J. `Damping and amplification of MHD quasi-modes in coronal plumes and loops' PhD Thesis, Leuven (2003), 40-47 \bibitem{Arregui2008} Arregui, I., Terradas, J., Oliver, R. et al. `The Resonant Damping of Fast Magnetohydrodynamic Oscillations in a System of Two Coronal Slabs' \emph{ApJ} \textbf{674} (2008), 1179-1190 \bibitem{Aschwanden1999} Aschwanden, M. J., Fletcher, L., Schrijver, C. J., \& Alexander, D. \emph{ApJ}, \textbf{520} (1999), 880 \bibitem{Aschwanden2003} Aschwanden, M. J., Nightingale, W., Andries, J. et al. `Observational Tests of Damping by Resonant Absorption in Coronal Loop Oscillations' \emph{Apj} \textbf{598} (2003) 1375-1386 \bibitem{Bogdan1985} Bogdan, T. J. \& Zweibel, E. G. `Effect of a fibril magnetic field on solar p-modes', \emph{ApJ} \textbf{298} (1985), 867-875 \bibitem{Bogdan1989} Bogdan, T. J. \& Cattaneo, F. `The normal modes of a resonant cavity containing discrete inhomogeneities - The influence of fibril magnetic fields on the solar acoustic oscillations', \emph{ApJ} \textbf{342} (1989), 545-557 \bibitem{Bogdan1991} Bogdan, T. J. \& Fox, D.C. `Multiple scattering of acoustic waves by a pair of uniformly magnetized flux tubes', \emph{ApJ} \textbf{379} (1991), 758-775 \bibitem{Chen1974} Chen, L. \& Hasegawa, A. `Plasma heating by spatial resonance of Alfv\'{e}n waves' \emph{Phys. Fluids} \textbf{17} (1974), 1399-1403 \bibitem{Demoortel2009} De Moortel, I. \& Pascoe, `Putting Coronal Seismology Estimates of the Magnetic Field Strength to the Test', \emph{ApJ} \textbf{699} (2009), L72-L75 \bibitem{Edwin1983} Edwin, P.M. \& Roberts, B.R. `Wave propagation in a magnetic cylinder' \emph{Sol. Phys.} \textbf{88} (1983), 179-191 \bibitem{Goedbloed1983} Goedbloed, J.P. `Lecture notes on ideal magnetohydrodynamics', Rijnhuizen Report, (1983), p 113 \bibitem{Goedbloed} Goedbloed, J.P. \& Poedts, S. {\em Principles of Magnetohydrodynamics: with applications to laboratory and astrophysical plasmas} \\ Cambridge, Cambridge University Press, 2004 \bibitem{Goossens1995} Goossens, M., Ruderman, M.S. \& Hollweg, J.V. `Dissipative MHD solutions for resonant Alfv\'{e}n waves in 1-dimensional magnetic flux tubes' \emph{Sol. Phys.} \textbf{157} (1995), 75-102 \bibitem{Goossens2008} Goossens, M. `Seismology of kink oscillations in coronal loops: Two decades of resonant damping' \emph{In: Waves \& Oscillations in the Solar Atmosphere: Heating and Magneto-Seismology Proceedings IAU Symposium} \textbf{247} (2007) R. Erd´elyi \& C. A. Mendoza-Briceno, eds. \bibitem{Goossens2009} Goossens M., Terradas, J., Andries, J. et al. `On the nature of kink MHD waves in magnetic flux tubes' \emph{A\&A} \textbf{503} (2009), 213-223 \bibitem{Goossens2013} Goossens, M., Van Doorsselaere, T., Soler, R. \& Verth, G. `Energy Content and Propagation in Transverse Solar Atmospheric Waves' \emph{ApJ} \textbf{768} (2013), id. 191 \bibitem{Heyvaerts1983} Heyvaerts, J. \& Priest, E.R. `Coronal heating by phase-mixed shear Alfv\'{e}n waves' \emph{A\&A} \textbf{117} (1983), 220-234 \bibitem{Hollweg1988} Hollweg, J.V. \& Yang, G. `Resonance-absorption of compressible MHD waves at thin surfaces' \emph{J. Geophys. Res.} \textbf{93} (1988), 5423-5436 \bibitem{Keppens1994} Keppens, R., Bogdan, T. J. \& Goossens, M. `Multiple scattering and resonant absorption of p-modes by fibril sunspots', \emph{ApJ} \textbf{436} (1994), 372-389 \bibitem{Klimchuk2006} Klimchuk, J.A. `On Solving the Coronal Heating Problem' \emph{Sol. Phys.} \textbf{234} (2006), 41-77 \bibitem{Luna2008} Luna, M., Terradas, J., Oliver, R. et al. `Transverse oscillations of two coronal loops' \emph{ApJ} \textbf{676} (2008), 717-727 \bibitem{Luna2009} Luna, M., Terradas, J., Oliver, R. \& Ballester, J. L. `Transverse Oscillations of Systems of Coronal loops', \emph{ApJ} \textbf{692} (2009), 1582-1589 \bibitem{Luna2010} Luna, M., Terradas, J., Oliver, R. \& Ballester, J. L. `Transverse Oscillations of a Multi-stranded Loop', \emph{ApJ} \textbf{716} (2010), 1371-1380 \bibitem{McIntosh2011} McIntosh, S. W., de Pontieu, B., Carlsson, M. et al. `Alfv\'{e}nic waves with sufficient energy to power the quiet solar corona and fast solar wind' \emph{Nature} \textbf{475} (2011), 477-480 \bibitem{Morton2009} Morton, R. J. \& Erd\'{e}lyi R., `The effect of elliptic shape on the period ratio P1/P2 of emerging coronal loops' \emph{A\&A} \textbf{502} (2009) \bibitem{Nakariakov1999} Nakariakov, V.M., Ofman, L., DeLuca, E.E. et al. `TRACE observation of damped coronal loop oscillations: implications for coronal heating' \emph{Science} \textbf{285} (1999), 862-864 \bibitem{Ofman2009} Ofman, L. `Three-Dimensional Magnetohydrodynamic Models of Twisted Multithreaded Coronal Loop Oscillations' \emph{ApJ} \textbf{694} (2009), 502-511 \bibitem{Parker1979} Parker, E.N. `Sunspots and the physics of magnetic flux tubes. I - The general nature of the sunspot. II - Aerodynamic drag', \emph{ApJ} \textbf{230} (1979), 905-923 \bibitem{Poedts1990} Poedts, S., Goossens, M., Kerner, W. `Temporal evolution of resonant absorption in solar coronal loops' \emph{CoPhC} \textbf{59} (1990), 95-103 \bibitem{Ramm1986} Ramm, A.G. `Scattering by Obstacles', \emph{Dordrecht, Reidel} (1986), 144-178 \bibitem{Robertson2011} Robertson, D. \& Ruderman, M.S. `Resonantly damped oscillations of two coronal loops' \emph{A\&A} \textbf{525} (2011), A4 \bibitem{Ruderman1995} Ruderman, M.S., Tirry, W. \& Goossens, M. `Non-stationary resonant Alfv\'{e}n surface waves in one-dimensional magnetic plasmas' \emph{J. Plas. Ph.} \textbf{54} (1995), 129-148 \bibitem{Ruderman2003} Ruderman, M.S. `The resonant damping of oscillations of coronal loops with elliptic cross-sections' \emph{A\&A} \textbf{409} (2003) 287-297 \bibitem{Sakurai1991} Sakurai, T., Goossens, M. \& Hollweg, J.V. `Resonant behavior of MHD waves on magnetic flux tubes. I. Connection formulae at the resonant surfaces' \emph{Sol. Phys.} \textbf{133} (1991), 227-245 \bibitem{Schwarzschild1948} Schwarzschild, M. `On noise arising from the solar granulation' \emph{ApJ} \textbf{107} (1948), 1-5 \bibitem{Terradas2008} Terradas, J., Arregui, I., Oliver, R. et al. `Resonant Absorption in Complicated Plasma Configurations: Applications to Multistranded Coronal Loop Oscillations' \emph{ApJ} \textbf{679} (2008), 1611-1620 \bibitem{Tomczyk2007} Tomczyk, S., McIntosh, S.W., Keil, S.L. et al. `Alfv\'{e}n Waves in the Solar Corona' \emph{Science} \textbf{317} (2007), 1192- \bibitem{VD2004} Van Doorsselaere, T., Andries, J., Poedts, S. \& Goossens, M. `Damping of Coronal Loop Oscillations: Calculation of Resonantly Damped Kink Oscillations of One-dimensional Nonuniform Loops', \emph{ApJ} \textbf{606} (2004), 1223-1232 \bibitem{VD2008} Van Doorsselaere T., Ruderman, M.S., \& Robertson, D. `Transverse oscillations of two parallel coronal loops' \emph{A\&A} \textbf{485} (2008), 849-857 \bibitem{Verwichte2004} Verwichte, E., Nakariakov, V. M., Ofman, L. \& Deluca, E. E. `Characteristics of transverse oscillations in a coronal loop arcade' \emph{Sol. Ph.} \textbf{223} (2004), 77-94 \bibitem{Waterman1969} Waterman, P.C. `New formulation of acoustic scattering', \emph{ASAJ} \textbf{45} (1969), 1417-1429 \bibitem{Yang2009} Yang et al., `Response of the solar atmosphere to magnetic field evolution in a coronal hole region', \emph{A\&A} \textbf{501} (2009), 745-753}\end{thebibliography}