Simulatie van de vorming van het vortexrooster in condensaten.

Wouter Verstraelen prof. dr. Jacques Tempere(promotor)
Je drinkt je koffie graag met melk en suiker. Daarom roer je erin. Wat is het gevolg van het roeren? Precies, je koffie zal ronddraaien. Hoe harder je roert, hoe sneller hij ronddraait. Je zal ook merken dat er in het midden van de kop een grote draaikolk oftewel vortex ontstaat. Dit werkt natuurlijk niet enkel met koffie, maar ook met thee of een andere vloeistof uit het dagelijks leven. Op dezelfde manier kan je met een klein kopje of een grote emmer werken.

Simulatie van de vorming van het vortexrooster in condensaten.

Je drinkt je koffie graag met melk en suiker. Daarom roer je erin. Wat is het gevolg van het roeren? Precies, je koffie zal ronddraaien. Hoe harder je roert, hoe sneller hij ronddraait. Je zal ook merken dat er in het midden van de kop een grote draaikolk oftewel vortex ontstaat. Dit werkt natuurlijk niet enkel met koffie, maar ook met thee of een andere vloeistof uit het dagelijks leven. Op dezelfde manier kan je met een klein kopje of een grote emmer werken. De kracht waarmee je moet roeren om het zelfde effect te verkrijgen verschilt in alle gevallen, maar uiteindelijk ziet de situatie er hetzelfde uit. Anders uitgedrukt: deze verschillende situaties komen niet kwantitatief overeen maar wel kwalitatief.

Terwijl dit gedrag van een vloeistof ons heel intuïtief lijkt, gaat het er helemaal anders aan toe in een BEC. Een BEC of Bose-Einsteincondensaat is een speciale aggregatietoestand van materie naast vast, vloeibaar, gasvormig en plasma. Het kan maar met sommige atomen(bosonen) gevormd worden door er een ijl gas van af te koelen tot net boven het absolute nulpunt van 0 K(ongeveer -273°C).

Het bijzondere aan een BEC is dat door de onzekerheidsrelatie van Heisenberg in combinatie met de zeer lage temperatuur het kwantummechanische golfkarakter van de atomen sterk tot uiting komt. De verschillende atomen zullen als het ware gaan overlappen en zullen zich in bepaalde opzichten als één enkel deeltje gaan gedragen. Hierdoor zal de kwantummechanica zich op macroscopische schaal gaan manifesteren.

Een BEC word wiskundig beschreven via de Gross-Pitaevskii-vergelijking. Uit deze vergelijking valt af te leiden dat de circulatie gekwantiseerd is of in gewone mensentaal: als je in een BEC een gesloten lus beschouwt kan de snelheid waarmee het condensaat erdoor stroomt maar bepaalde waarden aannemen en niet de waarden die daar tussenin liggen.

Wat is het verband met de kop koffie? Stel dat we een kopje hebben gevuld met BEC. Uit zichzelf heeft dit BEC natuurlijk de neiging stil te blijven staan. Maar wat als we er in roeren? Er gebeurt in eerste instantie niks. Het BEC blijft stil staan. Als we harder roeren, zal er op een gegeven moment toch iets gaan gebeuren: er ontstaat een vortex in het BEC die met een specifieke snelheid ronddraait, en deze vortex kan enkel die ene specifieke snelheid aannemen. Het blijft bij die ene vortex met vaste snelheid tot er bij een bepaalde roersnelheid een tweede vortex naast de eerste verschijnt met dezelfde rotatiesnelheid als de eerste. Ga je nog harder draaien, zal er ook een derde, vierde … vortex tevoorschijn komen. Merk op dat in de praktijk een BEC om zijn koude temperatuur te houden niet in contact mag komen met de wanden van een kopje maar zweeft en door magneten op zijn plaats wordt gehouden.

De roersnelheid waarbij de eerste vortex ontstaat, de zogenaamde eerste kritische frequentie, in een BEC kan relatief eenvoudig met de hand worden uitgerekend, een berekening hiervan is ook te vinden in deze scriptie. Voor een groter aantal vortices lukt dit echter niet meer door onderlinge de afstotingskracht tussen de vortices. Het hoofddoel van deze scriptie is dan ook deze hogere kritische frequenties te bepalen op een andere manier, namelijk via een computersimulatie.

Deze simulatie werd opgebouwd als volgt. Er werd gewerkt met een tweedimensionale projectie van het BEC op het grondvlak zodat het BEC de vorm heeft van een cirkelschijf zonder diepte. Elke vortex werd voorgesteld als een rond gaatje van vaste grootte dat in dit BEC geprikt is. Op zulke vortices werken verschillende krachten, maar het grootste deel hiervan komt voort uit het Magnuseffect dat bepaald dat een roterend voorwerp blootgesteld aan een achtergrondstroom(zoals lucht) een kracht ondervind die het zal doen afbuigen. Het is het magnuseffect dat de beweging van draaiballen in bijvoorbeeld tennis verklaard. De vortices in deze simulatie ondervinden een achtergrondstroom omwille van verschillende redenen. Een eerste oorzaak van deze achtergrondstroom: komt door het willen roeren in de vloeistof. Een andere oorzaak van achtergrondstroom is de stroming rondom andere vortices, die ook als gevolg heeft dat verschillende vortices elkaar afstoten. Het feit dat het BEC niet oneindig groot is, beïnvloed ook het stromingspatroon en dit werd in rekening gebracht met de zogenaamde ‘methode van de beeldvortices’. Bovenop de magnuskrachten is er nog een dempingskracht die de beweging van een vortex doorheen het BEC afremt.

Als we vooropstellen dat het BEC met een gekende snelheid geroerd wordt en we weten van elke vortex de plaats en snelheid op een zeker tijdsstip t kan de kracht op elke vortex berekend worden. De tweede wet van Newton laat toe uit deze krachten de versnellingen te berekenen op de vortices. En hiermee kan de plaats en snelheid van elke vortex op het daaropvolgende tijdsstip t+1 dan weer bepaald worden. Door duizenden van die kleine tijdsstapjes achter elkaar te laten uitvoeren ken je dan de baan die de vortices zullen afleggen als functie van de tijd.

Het lijkt misschien moeilijk om hieruit de kritische frequenties te bepalen. Toch lukt dit met een omweg als we de simulatie vele keren laat lopen bij verschillende roersnelheden. Kies een roersnelheid en plaats een aantal vortices aan de rand. Als volgens de simulatie de vortices naar binnen bewegen en in het BEC blijven, is de roersnelheid boven de kritische frequentie voor dit aantal. Als er vortices uit het BEC bewegen daarentegen is de roersnelheid nog onder deze kritische frequentie. Door dit voor vele verschillende roersnelheden te testen, kan de overgangsfrequentie steeds beter bepaald worden(dit is in feite een toepassing van de stelling van Bolzano die in het middelbaar aangeleerd wordt).

In deze thesis werden op deze manier de eerste vijf kritische frequenties bepaald. Het bleek dat de frequentie geen specifieke waarde is, maar eerder een overgangsgebied waarbinnen het aantal vortices tussen twee opeenvolgende aantallen wisselt. Het bleek ook dat de grenzen van deze gebieden anders liggen bij stijgende en dalende roersnelheid(hysteresis). De waarden kwamen kwalitatief overeen met het experiment, maar omdat er geen experiment met dezelfde parameters werd uitgevoerd is er kwantitatief niet veel over te zeggen. In de simulaties is ook te zien dat de vortices zich in een hoogsymmetrisch patroon als driehoekig schikken, dit is ook in overeenkomst met het experiment.

Bibliografie

 %(BibTeX)

 

 

@ARTICLE{experiment,

 author= {Madison, K.W. and Chevy, F. and Wohlleben, W and Dalibard, J}, title= {Vortex Formation in a Stirred Bose-Einstein Condensate}, journal={Physical Review Letters}, year={2000}, volume={84}, pages={806--809}, number={5}} @BOOK{hydrodynamics, title={Hydrodynamics}, author={Lamb, H.}, publisher={Cambridge University Press}, year={1932}, series={Dover Books on Physics}} @BOOK{kv,  title = {Klassieke Veldentheorie},  publisher = {Universiteit Antwerpen},  year = {2013},  author = {Scheunders, P.}} @UNPUBLISHED{werknota, title={De Gross-Pitaevskii energiefunctionaal, herschaalde versie}, author={Tempere, J.}, note={werknota}, year={2012}}  @BOOK{SSC,  title={Superconductivity, Superfluids and Condensates},  author={Annett, J.F.},  series={Oms in cmp},  publisher={Oxford University Press},  year={2004} } @BOOK{debroglie,  title={The theory of measurement in wave mechanics},  author={de Broglie, L.},  series={the great problems of science},  publisher={Gauthier-Villars, \'editeur-imprimeur-libraire },  year={1957}} @BOOK{numm,  title={Numerieke methoden},  author={Milosevic, M.},  publisher ={Universiteit Antwerpen},  year={2013}} @UNPUBLiSHED{practicum,  title={Gewone differentiaalvergelijkingen met BVW},  author={Vercauteren, S.},  note={Numerieke methoden practicum 7},  year={2013}} @BOOK{cursus,  title={Supergeleiding en Superflu\"iditeit},  author={Tempere, J.},  publisher={Universiteit Antwerpen},  year={2012}} @UNPUBLISHED{arxiv, title={The Gross-Pitaevskii Equation and Bose-Einstein condensates}, author={Rogel-Salazar J.}, note={arXiv:1301.2073v1}, year={2013}} @BOOK{comp, title={The art of Scientific Computing}, series={numerical recipes in fortran 77}, author={Press, W.H.}, publisher={Cambridge University Press}, year={1992}} @ARTICLE{rooster,  title={Observation of Vortex Lattices in Bose-Einstein Condensates},  author={Abo-Shaeer,J.R. and Raman, C. and Vogels, J.M and Ketterle, W.},  journal={science},  volume={292},  year={2001},  pages={476--478}, } @UNPUBLISHED{veld,  title={Efficiently computing vortex lattices in fast rotating Bose-Einstein condensates},  author={Zhang, Y. and Zeng, R. and Bao, W.},  year={2007},  note={http://www.math.nus.edu.sg/~bao/PS/p0501.pdf}}

Universiteit of Hogeschool
Bachelor of Science in de Fysica
Publicatiejaar
2014
Kernwoorden
Share this on: