Het pythagorasgetal van enkele commutatieve ringen

Nicolas Daans
Geeft uitgaande van een basiskennis algebra een overzicht van de bekendste resultaten over het pythagorasgetal van commutatieve ringen die geen lichamen zijn, vertrekkend van de vierkwadratenstelling van Lagrange en eindigend bij enkele stellingen van de laatste jaren. Tussendoor worden veel voorbeelden en tegenvoorbeelden gegeven.

Waarom blokkendozen wiskundigen bezig kunnen houden

Sommen van kwadraten?

Stel dat je een grote doos krijgt met allemaal even grote kubusvormige blokjes in. Als het aantal blokjes juist een kwadraat is (zoals één, vier, negen of zestien), dan kan je deze in een vierkant leggen: heb je bijvoorbeeld zestien blokjes, dan kan je deze in een vierkant leggen met vier rijen en vier kolommen. Is het aantal blokjes geen kwadraat, dan heb je meer vierkanten nodig. Heb je bijvoorbeeld twintig blokjes, dan kan je er zestien in een 4 x 4 vierkant leggen en de overige vier in een 2 x 2 vierkant.

Op die manier kan je natuurlijk met elk aantal blokjes vierkanten maken, als je maar voldoende vierkanten mag gebruiken. Zo kan je het getal 83 vormen door 83 vierkantjes met afmetingen 1 x 1 te leggen, hoewel dat een beetje flauw is. Het kan namelijk ook met slechts drie vierkanten: eentje met afmetingen 3 x 3, een met afmetingen 5 x 5 en een met afmetingen 7 x 7. Maar zou het ook met twee vierkanten kunnen? Indien je vermoedt dat dit niet kan, kan je ook uitleggen waarom niet?

Het loont om een handigere manier te vinden om over het bovenstaande te spreken. Wat er eigenlijk staat is dat 83 een som van drie kwadraten is, namelijk: 83 = 3² + 5² + 7², en dat 83 vermoedelijk geen som van twee kwadraten is. Het hele voorgaande verhaal over blokjes in vierkanten kan je zo herleiden naar een verhaal over sommen van kwadraten. Na hier wat mee gespeeld te hebben, zal een wiskundige op een aantal vragen uitkomen:

  1. Is er een manier om snel uit te vinden hoeveel kwadraten ik minstens nodig heb om een gegeven getal als een som van kwadraten te schrijven?

  2. Indien ja, is er ook een snelle manier om die benodigde kwadraten te vinden?

  3. Blijft het aantal benodigde kwadraten groeien naarmate we met steeds grotere getallen werken?

Als je een blokkendoos – of, waarschijnlijker, pen en papier – bij de hand hebt, kan je zelf op onderzoek uitgaan. Probeer bijvoorbeeld de getallen tussen één en dertig eens als een som van kwadraten te schrijven en zoek naar patronen of terugkerende fenomenen. De zoektocht naar patronen en algemene waarheden, bijvoorbeeld in (maar zeker niet beperkt tot) getallen, behoort tot de kerntaken van een wiskundige.

Historische resultaten

De kans dat je meteen een patroon herkent, is echter klein. Om te beginnen viel het je misschien wél op dat vier kwadraten genoeg bleken om elk van de getallen tussen een en dertig als som van kwadraten te schrijven. Dit blijkt ook voor grotere getallen geldig te blijven en werd bewezen door Lagrange in 1772; het staat bekend als zijn Vierkwadratenstelling, hoewel ook Fermat en Euler belangrijke bijdragen hebben geleverd. Dat een patroon bewezen wordt, wilt in een wiskundige context zeggen dat er op een overtuigende en onweerlegbare manier wordt uitgelegd waarom het patroon geldig is. Dit resultaat is toch wel merkwaardig: hoe veel blokken je ook hebt, je kan ze altijd in vier of minder vierkanten schikken! Bovendien heb je die vier vierkanten soms ook nodig. Je kan jezelf er vast van overtuigen dat zeven niet als som van drie kwadraten geschreven kan worden en hetzelfde geldt in feite voor elk getal dat juist onder een veelvoud van acht ligt.

Dit beantwoordt de derde van de drie vragen, maar niet de eerste twee. De eerste vraag is veel moeilijker te beantwoorden en de tweede is op het moment dat ik dit schrijf nog niet echt beantwoord. Het is met andere woorden niet al te moeilijk om te zien dat 83 een som van drie kwadraten is en niet van twee; veel moeilijker is het om die drie kwadraten effectief te vinden.

Om een idee te geven van hoe dit soort bewijzen er kunnen uitzien, probeer ik een mogelijke redenering te schetsen. Als je een even getal kwadrateert, dan is het resultaat altijd deelbaar door vier en als je een oneven getal kwadrateert, is het resultaat altijd één meer dan een veelvoud van vier (viervoud). Het helpt om naar de bijgevoegde illustratie te kijken om dit te begrijpen. Neem je dan een som van twee kwadraten, dan zijn er drie mogelijkheden: ofwel is het resultaat een viervoud, ofwel één meer dan een viervoud, ofwel twee meer dan een viervoud. Maar het kan dus nooit drie meer dan een viervoud zijn! Daarom is 83 (= 4 x 20 + 3) geen som van twee kwadraten.

Het pythagorasgetal

In de wiskunde zijn er naast de gehele getallen (getallen waarmee je kunt tellen zoals 0, 1, 2, ...) nog objecten die je kan optellen en vermenigvuldigen. De structuren waartoe deze objecten behoren, noemen we ringen. Breuken bijvoorbeeld vormen een ring. In de vraag “Hoeveel kwadraten heb je nodig om elk positief geheel getal als een som van zoveel kwadraten te schrijven?” kan je ‘elk positief geheel getal’ vervangen door ‘elke positieve breuk’. In dit geval blijft het antwoord trouwens vier. Pas enkele decennia geleden begon men de vraag “Hoeveel kwadraten heb je nodig om elk(e) … als een som van zoveel kwadraten te schrijven?” in volle algemeenheid te bestuderen, dus voor algemene ringen. Het antwoord op de vraag noemt men dan het pythagorasgetal van de ring. Zo is het pythagorasgetal van de breuken én van de gehele getallen dus gelijk aan vier.

In mijn bachelorproef bespreek ik sommen van kwadraten voor allerlei ringen. Ik geef voorbeelden van ringen waarvan het pythagorasgetal exact of ongeveer berekend kan worden en leg uit waarom elk getal kan voorkomen als het pythagorasgetal van een ring, alsook waarom niet elke ring een eindig pythagorasgetal heeft. De proef is geschreven voor een publiek met een voorkennis commutatieve algebra, maar vereist geen voorkennis over het onderzoeksgebied van sommen van kwadraten. Ze kan dus opgevat worden als een inleiding tot het thema en bevat zowel de klassieke resultaten zoals de Vierkwadratenstelling als zaken die pas de laatste tien jaar ontdekt zijn.

Bibliografie
  1. Atiyah M. F. en Macdonald I. G. Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, 1969.
  2. Becher K. J. en Leep D. B. The length and other invariants of a real field. Springer-Verlag, 2010.
  3. Choi M.D., Dai Z.D., Lam, T.Y. en Reznick B. The Pythagoras number of some affine algebras and local algebras. 1981.
  4. Dickson L. E., History of the Theory of Numbers, Vol. II. Verenigde Staten van Amerika: Carnegie Institution of Washington, 1919.
  5. Hoffmann D. W. Pythagoras number of elds. Journal of the American Mathematical Society. 1999, 12(3): p. 839-848.
  6. Lang S. Algebra. 3de uitgave. Verenigde Staten van Amerika: Addison-Wesley Publishing Company, 1999.
  7. Lam, T.Y. Introduction to Quadratic Forms over Fields. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2005.
  8. Leep, D. B. en Hoffmann, D.W. Sums of squares in nonreal commutative rings. Lexington: University of Kentucky, Department of Mathematics, 2010. (Ongepubliceerd paper)
  9. Leep, D. B. Sums of squares of polynomials and the invariant gn(R). Lexington: University of Kentucky, Department of Mathematics, 2006.
  10. Pfister A. Quadratic forms with applications to geometry and topology. Cambridge: University Press, 1995.
  11. Shapiro D. B. Compositions of Quadratic Forms. Berlijn: Walter de Gruyter, 2000.
Universiteit of Hogeschool
Bachelor in de Wiskunde
Publicatiejaar
2016
Promotor(en)
Professor Karim Johannes Becher
Kernwoorden
Deel deze scriptie