Mainstream of er tegenin: tegendraadse deeltjes in roosters
Mainstream of er tegenin: tegendraadse deeltjes in roosters
Iedereen heeft het al wel eens in één of andere natuurdocumentaire gezien: een school zalmen die met alle macht tegen de stroom in proberen te zwemmen. Wat minder bekend is, is dat deeltjes ook vaak zo een gedrag vertonen, wat tot zeer vreemde maar niettemin interessante effecten kan leiden. Of het nu elektronen in een metaalrooster of moleculen in een cel zijn, enorm veel systemen vertonen dit gedrag.
Wat is het en hoe werkt het?
Denk even terug aan de tijd waarop je nog op de schoolbanken zat. Je bent bijna te laat voor de les en wil dus zo snel mogelijk je klaslokaal bereiken. Om daar te geraken moet je door een lange rechte gang lopen. Je sprint door de gang maar halverwege staat er plots een medestudent in je weg, waar je in je haast tegen botst. Je kan duidelijk niet meer rechtdoor lopen en beslist snel om rond de student heen te gaan. Na nog een eindje verschijnt opeens nog een medestudent, recht op je pad! Opnieuw loop je rond de student heen om zo nog net op tijd je klaslokaal te bereiken. Doordat je tegen de medestudenten bent gebotst, ligt je gemiddelde snelheid lager dan wanneer de gang volkomen verlaten zou zijn en je dus vrije doorgang zou hebben. Je doet er immers langer over om dezelfde afstand te overbruggen.
Deze denkwijze kan eenvoudig toegepast worden op deeltjes die door een rooster bewegen waar zich op sommige plekken barrières bevinden. Een deeltje wordt door een kracht van één kant van het rooster naar de andere kant getrokken. Een voorbeeld is een elektron dat zich door een metaalrooster onder invloed van een elektrisch veld voortbeweegt. Op weg naar de andere kant kan het deeltje steeds kiezen of het naar voren (met de kracht mee), naar achteren (tegen de kracht in) of naar boven of onder springt. Nu zweven er in het rooster waardoor onze deeltjes zich bewegen enkele barrières (vergelijk met de medestudenten) die onze deeltjes kunnen tegenhouden wanneer ze er tegen botsen. Deze barrières kunnen ook bewegen in alle vier de richtingen maar bewegen onafhankelijk van de kracht! Het deeltje heeft dus een lagere gemiddelde snelheid dan wanneer het vrij door het rooster zou kunnen bewegen. Wanneer we de kracht opdrijven zullen deeltjes ook langer tegen deze barrières gedrukt worden en ontsnappen ze minder snel. Voor lage waarden van de kracht kunnen deeltjes zelfs in de tegengestelde richting van de kracht springen, om zo dus effectief tegen de stroom in te gaan. Een mogelijke configuratie van een rooster met één deeltje en enkele barrières is weergegeven in figuur 1.
Nog altijd mee? Vanaf nu wordt het (iets) technischer. Met elke sprongrichting van ons deeltje stemt een kans overeen om in die richting te springen. Opgeteld moeten deze kansen altijd 1 geven, dit komt overeen met altijd iets doen. De manier om dit te doen is om elke sprong te delen door een bepaald getal, dit wordt normeren genoemd. Een kort voorbeeld maakt dit principe iets duidelijker. Stel dat we vier keer zoveel appels als peren hebben in een fruitmand. We geven aan de hoeveelheid appels het getal één en aan de hoeveelheid peren het getal vier (vier maal één). Als we deze getallen optellen krijgen we vijf. Wanneer we één en vier delen door vijf krijgen we respectievelijk 0.20 en 0.80, wat samen net 1 vormt. We hebben dit probleem dus genormeerd.
Nu zijn er oneindig veel manieren waarop een verzameling kansen genormeerd kan worden en de keuze van deze normering zal in ons rooster een zeer sterke invloed hebben op het gedrag van de stroom van deeltjes. We kiezen twee normeringen: model A en model B. Wanneer we spreken over meerdere deeltjes beschouwen we ook de stroom en niet meer de snelheid.
In model A kiezen we de kansen om naar boven of onder te springen op zo een manier dat ze onafhankelijk worden van de kracht. We verwachten dus dat naarmate we de kracht opdrijven de stroom toeneemt en daarna afvlakt (figuur 2). Dit komt doordat deeltjes die tegen barrières gedrukt worden nog altijd een vrij grote kans hebben om naar boven of naar onder te springen. Zo kunnen ze langs de barrières heen manoeuvreren. Voor model B kiezen we deze sprongkansen zodat deze kleiner worden naarmate de kracht toeneemt. De stroom neemt dus af wanneer de kracht toeneemt. Deeltjes die tegen barrières worden gedrukt zullen nu bijna niet meer kunnen ontsnappen. Dit is ook duidelijk te zien in figuur 3 en wordt negatieve differentiele mobiliteit (NDM) genoemd. Het gebied waarin NDM voorkomt is het gebied waarin de stroom daalt of in wiskundige termen: het gebied waar de afgeleide van de stroom naar de kracht negatief is.
In de grafiek voor model A (figuur 2) is wel een onverwacht fenomeen te zien. Voor lagere concentraties van deeltjes is er wel een gebied waarbij NDM te vinden is. Hoe kan dit nu? Wanneer deeltjes doorheen het rooster bewegen kunnen ze soms gevangen worden door een verzameling van barrières, waardoor ze niet naar voren en ook niet naar boven of onder kunnen springen. In figuur 4 is zo een 'valstrik' getekend. Wanneer de concentratie deeltjes echter toeneemt zullen deze 'valstrikken' vol komen te zitten en kunnen de andere deeltjes terug ongestoord door het rooster bewegen. Hierdoor verdwijnt de NDM voor hogere deeltjes concentraties.
Wat kunnen we concluderen?
Uit de resultaten van de vorige twee modellen blijkt dat de keuze van normering een zeer sterke invloed heeft op het gedrag van de snelheid (of de stroom voor meerdere deeltjes) in een rooster. De normering moet dus gekozen worden in functie van het te bestuderen systeem. Soms zal er dus 'tegen de stroom in' gegaan moeten worden, zoals een zalm in een rivier.
