Een parallelle multilevel Monte-Carlomethode voor de simulatie van stochastische partiële differentiaalvergelijkingen

Uncertainty Quantification: de volgende grote uitdaging voor de industrie?

Pieterjan Robbe

Hoelang duurt het vooraleer grondwater vanuit een ondergrondse opslagplaats voor radioactief afval de buitenlucht bereikt? Het radioactieve grondwater sijpelt immers langzaam doorheen de rotswand die de opslagplaats omringt. Het antwoord op deze vraag hangt af van verschillende factoren: de soort en de eigenschappen van de rots, de dikte, het drukverschil tussen opslagplaats en omgeving… Modellen voor complexe processen, zoals bovenstaand probleem, zijn slechts een benadering en dus inherent onzeker. Hoe men met deze onzekerheid moet omgaan en wat het effect is op de output is een actuele onderzoeksvraag, en eveneens het onderwerp van deze scriptie.

Onzekerheidskwantificatie

Klassiek wordt een ontwerpproces opgedeeld in drie grote stappen. Eerst wordt het reële systeem vereenvoudigd tot een wiskundig model. Daarna wordt het model omgezet in een computermodel, dat kan worden gesimuleerd. De hoop is dan dat het computermodel zich gedraagt als het werkelijke systeem. Hoe goed het model de werkelijkheid benadert kan tot slot worden nagegaan aan de hand van experimenten in de echte wereld. Het ontwerpproces wordt aangevuld met een terugkoppeling: wanneer tijdens simulaties of experimenten blijkt dat het model de werkelijkheid niet voldoende benadert, wordt een verdere verfijning aan het model aangebracht. 

Modellering, simulatie en experimenten worden ook wel de drie pijlers van de moderne wetenschap en technologie genoemd. Hoe een model zich gedraagt bij een onzekere input blijft echter nog een belangrijk open vraagstuk. Wanneer de input van een model onzeker is, zal immers ook de output onderhevig zijn aan een bepaalde onzekerheid. Bronnen voor deze onzekerheid kunnen vaag gespecificeerde of willekeurig variërende modelparameters zijn, alsook de geometrie van een probleem, de omgevingsfactoren of bepaalde materiaaleigenschappen. Bovendien is elk model slechts een benadering van de werkelijkheid. Numerieke afrondingsfouten in de simulaties en fouten in de gebruikte experimenten voor modelkalibratie zorgen voor bijkomende onzekerheden. De wetenschap die zich bezig houdt met het rigoureus identificeren, kwantificeren en reduceren van de onzekerheid in deze drie pijlers noemt men onzekerheidskwantificatie (Uncertainty Quantification).

Monte-Carlosimulatie

Een mogelijke techniek om de onzekerheden op de output van een model te bepalen is de Monte-Carlomethode (MC). In de klassieke Monte-Carlomethode wordt verschillende keren een oplossing berekend voor verschillende willekeurige realisaties van de onzekere modelparameters. Voor elke realisatie wordt dan een deterministisch probleem (zonder onzekerheid) opgelost. Nadien worden de, vaak vele duizenden tot zelfs miljoenen, deterministische problemen gecombineerd tot een beschrijving van de onzekerheden in het model. Het grootste nadeel van deze methode is de snelheid: er zijn zéér veel realisaties nodig om de oplossing voldoende nauwkeurig te berekenen.

In de praktijk beschouwt men vaak modellen beschreven door partiële differentiaalvergelijkingen of PDEs. Deze vergelijkingen worden wiskundig opgelost door de geometrie te benaderen door een rooster van punten, ook wel mesh genoemd. Voor een gegeven realisatie van de modelparameters wordt de oplossing van de PDE dan gezocht in al deze punten. Hoe meer punten in het rooster, hoe nauwkeuriger de oplossing, maar ook hoe duurder één deterministische oplossing wordt.

Een recente methode voor het kwantificeren van de onzekerheid in modellen is de Multi-Level Monte-Carlomethode (MLMC). Dit multilevelalgoritme combineert Monte-Carlosimulatie met een opeenvolging van roosters met steeds toenemende nauwkeurigheid. Deze roosters noemt men ook wel levels. Het doel van de methode is om het aantal realisaties op de nauwkeurige (maar dure) roosters te verminderen.

Koffiepauze

Deze scriptie onderzoekt hoe de MLMC-methode verder kan worden verbeterd door welgekozen realisaties van de modelparameters te gebruiken, in plaats van de willekeurige realisaties in de Monte-Carlomethode. Numerieke simulaties met deze nieuwe methode tonen duidelijk de superioriteit ten opzichte van de bestaande methoden. Zo kan voor een bepaald probleem de rekentijd worden teruggebracht van vier maanden met de Monte-Carlomethode, tot nauwelijks een half uur met de nieuwe methode. Dat is de gemiddelde tijd die een onderzoeker besteedt aan een koffiepauze, en dus ook de tijd die hij wil wachten tot de simulatie afgelopen is.

Onzekerheidskwantificatie wordt in de toekomst dus steeds belangrijker. De toegenomen rekenkracht van de computer maakt het mogelijk om ook voor complexe systemen een groot aantal deterministische realisaties te berekenen. Dat laat dan toe om het effect van de onzekerheden in het complex model te kwantificeren. Een volgende stap is dan de optimale aansturing van het systeem. Wat is, gegeven een maximale kost, de optimale dikte van de rotswand? Welk materiaal is het meest geschikt? Kan men, door het aanleggen van een bepaalde druk van buitenaf, de uitstroom van radioactief grondwater verminderen? Marcus Meyer, ingenieur bij Rolls Royce verwoordt het als volgt: “Optimization under uncertainties is the next big scientific challenge”.