Computerspelen en modellen in financieel onderzoek
Wat we weten over de globale financiële crisis is dat we niet veel weten
Paul Samuelson, Nobelprijswinnaar economie, 1999
Een citaat dat doorheen de tijd toepasbaar blijft. In 2008 kenden we de grootste financiële crisis sinds de depressie van de jaren ´30. Afnemend vertrouwen in de banken nam hun vermogen om leningen uit te geven weg, en het tekort aan geld trok ontelbare ondernemingen in het faillissement. De impact ervan, tot op de dag van vandaag nog voelbaar, is een pijnlijke herinnering aan de limieten van onze kennis met betrekking tot financiën.
GESTILEERDE FEITEN
De kredietcrisis is slechts één recent voorbeeld van de grillige natuur van markten. Prijzen stijgen en dalen op onvoorspelbare wijze en het menselijke element maakt voorspellingen moeilijk. Desondanks zijn er een aantal verschijnselen die consistent zichtbaar zijn voor verschillende markten doorheen de tijd: gestileerde feiten.
Een eerste gestileerde feit is de afwezigheid van autocorrelaties in prijsverschillen. Dit reflecteert de onvoorspelbaarheid van markten, en zegt dat het stijgen van de prijs van een handelswaar geen garantie is dat deze prijs in de toekomst zal blijven stijgen. De grootte van prijsverschillen is echter wel gecorreleerd: volatiliteitsclustering, het tweede gestileerde feit. Als in een bepaalde tijdsspanne de prijs van een handelswaar veel verandert zal in de daaropvolgende periode de prijs geneigd zijn om opnieuw veel te veranderen.
De laatste gestileerde feiten hebben betrekking tot het voorkomen van extreme gevallen, zoals de kredietcrisis. Een klokcurve is een vorm die men vaak terugziet in gegevens van bijvoorbeeld het gewicht of de lengte van mensen. Deze klokcurve geeft veel kans om gevallen rond het gemiddelde terug te vinden (e.g. een lengte van 175 cm), en progressief minder kans om randgevallen tegen te komen (e.g. een lengte van 220 cm). Voor prijsverschillen blijkt de kans om zulke extreme gevallen tegen te komen veel groter te zijn dan voorspeld door een klokcurve. Dit geldt voor zowel prijsverhogingen als -verlagingen: de distributie van prijsverschillen heeft ‘dikke staarten’. Kijkt men echter naar prijsverschillen over een langere termijn, dan worden de dikke staarten minder prominent.
Deze gestileerde feiten zijn zichtbaar voor een breed aantal handelsgoederen. Enkele voorbeelden hiervan zijn de markten voor hout en katoen, maïs en sojascheuten, en verschillende beursaandelen. Ze zijn echter niet overal zichtbaar. Prijzen van e.g. aluminium vertonen ze niet. Hoe universeel zijn ze dan? Vertonen sommige markten eigenschappen die hun aanwezigheid verbergt of verhindert? Meer kennis over de oorsprong van de gestileerde feiten kan bijdragen tot een groter begrip van het algemeen prijsgedrag van handelsgoederen. Een belangrijke contributie hiertoe komt uit een onverwachte hoek: computerspelen.
VIRTUELE WERELDEN
EVE Online (of simpelweg EVE) is een online computerspel gecentreerd rond piloten van ruimteschepen in een verre toekomst. Spelers kunnen de ruimte verkennen, mineralen ontginnen, voorwerpen maken en deze verhandelen met elkaar. De vrije markt die zich hierdoor vormt is bijzonder in zijn vergelijkbaarheid met echte markten, desondanks een fundamenteel verschillende opbouw. Dit geeft onderzoekers de mogelijkheid om met gekende technieken een andere soort economie te bestuderen.
De prijzen van virtuele handelsgoederen in EVE blijken zich te gedragen zoals deze in de echte wereld. Ook de gestileerde feiten zijn aanwezig. Het is dus bijvoorbeeld onmogelijk om te voorspellen of de prijs van een schip in EVE zal stijgen gebaseerd op voorafgaand prijsgedrag, en net zoals echte goederen komen extreme stijgingen en dalingen van de prijs vaker voor dan voorspeld door een klokcurve.
De aanwezigheid van de gestileerde feiten in een markt die sterkt verschilt in opbouw van echte markten suggereert dat hun oorzaak ligt in de gemeenschappelijke factoren die de markten delen. Een van deze gemeenschappelijke factoren is het menselijke element en de onvoorspelbaarheid die het met zich meebrengt. Dit werd verder onderzocht met behulp van een agent-gebaseerd model (AGM).
AGENT-GEBASEERDE MODELERING
Een AGM verschilt van klassieke aanpakken in zijn focus op afzonderlijke agenten die samen een groter geheel vormen; Individueel gedrag van deze agenten zorgt er dan voor dat in het geheel specifieke eigenschappen verschijnen, en in het onderzochte AGM een markt vormt.
Dit AGM bestaat uit agenten die tot de primaire, secundaire of tertiaire sector van een economie kunnen behoren. De primaire sector verkrijgt ruwe grondstoffen, die na verwerking tot afgewerkte producten door de secundaire sector worden geconsumeerd door de tertiaire sector. Agenten verhandelen deze goederen op een markt en passen hun prijzen aan om hun eigen winst te maximaliseren. De evolutie van deze prijzen kan dan, net zoals die van de echte en virtuele werelden, bestudeerd worden.
In de meest eenvoudige implementatie van het AGM staan de prijzen direct in relatie met de verhouding van agenten in de verschillende sectoren en zijn deze volledig voorspelbaar. Krijgen de agenten echter geen perfecte informatie meer over de markt en passen ze sporadisch hun prijzen op irrationele wijze aan, dan verdwijnt deze voorspelbaarheid. Als bijkomend externe factoren worden gemodelleerd onder de vorm van een variërend inkomen van ruwe grondstoffen, worden alle gestileerde feiten zichtbaar.
Deze resultaten suggereren enerzijds dat (menselijke) onvoorspelbaarheid aan de oorzaak ligt van gestileerde feiten in het prijsgedrag van markten. Anderzijds opent de vergelijkbaarheid van echte en virtuele markten nieuwe deuren voor economisch onderzoek. De effecten van een nieuw economisch beleid, zoals aangepaste belastingstructuren, zijn soms moeilijk om te voorspellen. Computerspelen met vergelijkbare markten als de echte wereld bieden dan een gepast laboratorium aan om de impact ervan te bestuderen.
Bibliografie
[al15] C. Asness et. al. Size Matters, If You Control Your Junk.
Working Paper. Apr. 2015. doi: 10.2139/ssrn.2553889. url: https://ssrn.com/abstract=2553889.
[Alp15] Alphameridian. Everquest II Economy Hacked. Don’t
Grow Too Much Money on Trees Too Fast. https : / /
arstechnica.com/gaming/2005/08/948/. Accessed:
2017-05-12. Dec. 8, 2015.
[Ami08] Henrik Amilon. “Estimation of an adaptive stock market model with heterogeneous agents.” In: Journal of
Empirical Finance 15.2 (2008), pp. 342–362. issn: 0927-
5398. doi: https://doi.org/10.1016/j.jempfin.
2006.06.007. url: http://www.sciencedirect.com/
science/article/pii/S0927539807000606.
[Ani11] et. al. Anirban Chakraborit. “Econophysics: Empirical
facts and agent-based models.” In: Quantative Finance
11 (2011), pp. 1013–1041.
[Axt01] Robert L. Axtell. “Zipf Distribution of U.S. Firm Sizes.”
In: Science 293.5536 (Sept. 2001), pp. 1818–1820. issn:
1095-9203. doi: 10.1126/science.1062081. url: http:
//dx.doi.org/10.1126/science.1062081.
[Ban70] R. Banz. “The Relationship Between Return and Market
Value Of Common Stocks.” In: Journal of Financial
Economics 9.1 (1970), pp. 3–18. url: http://www.
sciencedirect.com/science/article/pii/0304405X81900180.
[Bas77] S. Basu. “Investment Performance of Common Stocks
In Relation To Their Price-Earnings Ratios: A Test Of
The Efficient Market Hypothesis.” In: The Journal of
Finance 32.3 (1977), pp. 663–682. issn: 1540-6261. doi:
10.1111/j.1540-6261.1977.tb01979.x. url: http:
//dx.doi.org/10.1111/j.1540-6261.1977.tb01979.
x.
[BS73] Fischer Black and Myron Scholes. “The Pricing of
Options and Corporate Liabilities.” In: Journal of Political
Economy 81.3 (1973), pp. 637–54. url: http://
EconPapers.repec.org/RePEc:ucp:jpolec:v:81:y:
1973:i:3:p:637-54.
107
108 Bibliography
[BM00] J.-P. Bouchaud and M. Mezard. “Wealth condensation
in a simple model of economy.” In: eprint arXiv:condmat/
0002374 (Feb. 2000). eprint: cond-mat/0002374.
[Cas02] Edward Castronova. On Virtual Economies. Working
Paper 752. July 2002. url: https://ssrn.com/abstract=
338500.
[Cas+09] Edward Castronova, Dmitri Williams, Cuihua Shen,
Rabindra Ratan, Li Xiong, Yun Huang, and Brian
Keegan. “As real as real? Macroeconomic behavior
in a large-scale virtual world.” In: New Media & Society
11.5 (2009), pp. 685–707. doi: 10.1177/1461444809105346.
eprint: http://dx.doi.org/10.1177/1461444809105346.
url: http://dx.doi.org/10.1177/1461444809105346.
[CV12] Lidia Ceriani and Paolo Verme. “The origins of the
Gini index: extracts from Variabilità e Mutabilità (1912)
by Corrado Gini.” In: The Journal of Economic Inequality
10.3 (2012), pp. 421–443.
[CC00] A. Chakraborti and B.K. Chakrabarti. “Statistical mechanics
of money: how saving propensity affects its
distribution.” In: European Physical Journal B 17 (Aug.
2000), pp. 167–170. doi: 10 . 1007 / s100510070173.
eprint: cond-mat/0004256.
[Cha53] D.G. Champernowne. “A Model of Income Distribution.”
In: The Economic Journal 63.250 (1953), pp. 318–
351.
[CC06] A. Chatterjee and B. K. Chakrabarti. “Kinetic market
models with single commodity having price fluctuations.”
In: The European Physical Journal B - Condensed
Matter and Complex Systems 54.3 (2006), pp. 399–404.
issn: 1434-6036. doi: 10.1140/epjb/e2007-00011-1.
url: http : / / dx . doi . org / 10 . 1140 / epjb / e2007 -
00011-1.
[CKM04] A. Chatterjee, B. K. Chakrabarti, and S.S. Manna. “Pareto
law in a kinetic model of market with random saving
propensity.” In: Physica A Statistical Mechanics
and its Applications 335 (Apr. 2004), pp. 155–163. doi:
10.1016/j.physa.2003.11.014. eprint: cond-mat/
0301289.
Bibliography 109
[Con01] R. Cont. “Empirical properties of asset returns: stylized
facts and statistical issues.” In: Quantitative Finance
1.2 (2001), pp. 223–236. doi: 10.1080/713665670.
eprint: http : / / dx . doi . org / 10 . 1080 / 713665670.
url: http://dx.doi.org/10.1080/713665670.
[CPZ01] M. Cristelli, L. Pietronero, and A. Zaccaria. “Critical
Overview of Agent-Based Models for Economics.”
In: ArXiv e-prints (2001).
[Dat17] St. Louis Fed. Reserve Economic Data. FRED Economic
Data. https : / / fred . stlouisfed . org/. Accessed:
2017-04-01. 2017.
[Dav+09] James B. Davies, Susanna Sandstrom, Anthony B. Shorrocks,
and Edward N. Wolff. The Level and Distribution of
Global Household Wealth. Working Paper 15508. National
Bureau of Economic Research, Nov. 2009. doi:
10.3386/w15508. url: http://www.nber.org/papers/
w15508.
[DY00] A. Dr˘agulescu and V.M. Yakovenko. “Statistical mechanics
of money.” In: The European Physical Journal
B - Condensed Matter and Complex Systems 17.4
(2000), pp. 723–729. issn: 1434-6036. doi: 10.1007/
s100510070114. url: http://dx.doi.org/10.1007/
s100510070114.
[Dur05] Steven N. Durlauf. “Complexity and Empirical Economics.”
In: The Economic Journal 115.504 (2005), F225–
F243. issn: 00130133, 14680297. url: http : / / www .
jstor.org/stable/3590439.
[Fam70] Eugene F. Fama. “Efficient Capital Markets: A Review
of Theory and Empirical Work.” In: The Journal
of Finance 25.2 (1970), pp. 383–417. issn: 00221082,
15406261. url: http : / / www . jstor . org / stable /
2325486.
[Fam+69] Eugene F. Fama, Lawrence Fisher, Michael C. Jensen,
and Richard Roll. “The Adjustment of Stock Prices to
New Information.” In: International Economic Review
10.1 (1969), pp. 1–21. issn: 00206598, 14682354. url:
http://www.jstor.org/stable/2525569.
110 Bibliography
[Fre80] Kenneth R. French. “Stock returns and the weekend
effect.” In: Journal of Financial Economics 8.1 (1980),
pp. 55–69. issn: 0304-405X. doi: http : / / dx . doi .
org/10.1016/0304- 405X(80)90021- 5. url: http:
//www.sciencedirect.com/science/article/pii/
0304405X80900215.
[FT14] B. Fuchs and S. Thurner. “Behavioral and Network
Origins of Wealth Inequality: Insights from a Virtual
World.” In: PLoS ONE 9.10 (Aug. 2014), e103503. doi:
10.1371/journal.pone.0103503. arXiv: 1403.6342
[physics.soc-ph].
[Gam17] CCP Games. EVE online. www . eveonline . com. Accessed:
2017-05-26. 2003-2017.
[Gib31] R. Gibrat. Les inégalités économiques. Théses. Recueil
Sirey, 1931. url: https://books.google.be/books?
id=m9fuoAEACAAJ.
[Gop+98] P. Gopikrishnan, M. Meyer, L.A.N. Amaral, and H.E.
Stanley. “Inverse cubic law for the distribution of
stock price variations.” In: The European Physical Journal
B - Condensed Matter and Complex Systems 3.2 (1998),
pp. 139–140. issn: 1434-6036. doi: 10.1007/s100510050292.
url: http://dx.doi.org/10.1007/s100510050292.
[Hag61] D.C. Hagued. The Theory of Capital. 1st ed. Palgrave
Macmillan UK, 1961, pp. 177–178. isbn: 978-1-349-
08452-4.
[HS16] T. A. Huber and D. Sornette. “Can there be a physics
of financial markets? Methodological reflections on
econophysics.” In: European Physical Journal Special
Topics 225 (Dec. 2016). doi: 10.1140/epjst/e2016-
60158-5.
[IKR98] S. Ispolatov, P.L. Krapivsky, and S. Redner. “Wealth
distributions in asset exchange models.” In: The European
Physical Journal B - CondensedMatter and Complex
Systems 2.2 (1998), pp. 267–276. issn: 1434-6036. doi:
10.1007/s100510050249. url: http://dx.doi.org/
10.1007/s100510050249.
[KH53] M. G. Kendall and A. Bradford Hill. “The Analysis
of Economic Time-Series-Part I: Prices.” In: Journal
of the Royal Statistical Society. Series A (General) 116.1
(1953), pp. 11–34. issn: 00359238. url: http://www.
jstor.org/stable/2980947.
Bibliography 111
[Kim+15] J. Kim, B. C. Keegan, S. Park, and A. Oh. “The Proficiency-
Congruency Dilemma: Virtual Team Design and Performance
in Multiplayer Online Games.” In: ArXiv
e-prints (Dec. 2015). arXiv: 1512.08321 [cs.HC].
[KW04] Tae-Hwan Kim and Halbert White. “On more robust
estimation of skewness and kurtosis.” In: Finance Research
Letters 1.1 (2004), pp. 56–73. issn: 1544-6123.
doi: https://doi.org/10.1016/S1544- 6123(03)
00003 - 5. url: http : / / www . sciencedirect . com /
science/article/pii/S1544612303000035.
[KSY06] Ken Kiyono, Zbigniew R. Struzik, and Yoshiharu Yamamoto.
“Criticality and Phase Transition in Stock-
Price Fluctuations.” In: Phys. Rev. Lett. 96 (6 Feb. 2006),
p. 068701. doi: 10 . 1103 / PhysRevLett . 96 . 068701.
url: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.
96.068701.
[Kol13] Phil Kollar. The past, present and future of League of
Legends studio Riot Games. https : / / www . polygon .
com / 2016 / 9 / 13 / 12891656 / the - past - present -
and-future-of-league-of-legends-studio-riotgames.
Accessed: 2017-05-12. 2016-09-13.
[LM99] AndrewW. Lo and A. Craig MacKinlay. A Non-Random
Walk Down Wall Street. Princeton University Press,
1999. isbn: 9780691092560. url: http://www.jstor.
org/stable/j.ctt7tccx.
[LF07] E. Lofgren and N. Fefferman. “The Untapped Potential
of Virtual Game Worlds to Shed Light on Real
World Epidemics.” In: The Lancet Infectious Diseases 7
(2007). doi: 10.1016/S1473-3099(07)70212-8.
[Lor05] M. O. Lorenz. “Methods of Measuring the Concentration
of Wealth.” In: Publications of the American Statistical
Association 9.70 (1905), pp. 209–219. doi: 10.
1080/15225437.1905.10503443. eprint: http://www.
tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/15225437.1905.
10503443. url: http://www.tandfonline.com/doi/
abs/10.1080/15225437.1905.10503443.
[MN09] Charles M. Macal and Michael J. North. “Agent-based
Modeling and Simulation.” In:Winter Simulation Conference.
WSC ’09.Winter Simulation Conference, 2009,
pp. 86–98. isbn: 978-1-4244-5771-7. url: http://dl.
acm.org/citation.cfm?id=1995456.1995474.
112 Bibliography
[Mal73] Burton Malkiel. A RandomWalk DownWall Street. Z.Z.
Norton and Company, Inc., 1973. isbn: 0-393-06245-
7.
[Mal03] Burton G. Malkiel. “The Efficient Market Hypothesis
and Its Critics.” In: Journal of Economic Perspectives
17.1 (Mar. 2003), pp. 59–82. doi: 10.1257/089533003321164958.
url: http : / / www . aeaweb . org / articles ? id = 10 .
1257/089533003321164958.
[Man63] Benoit Mandelbrot. “The Variation of Certain Speculative
Prices.” In: The Journal of Business 36 (1963).
url: http : / / EconPapers . repec . org / RePEc : ucp :
jnlbus:v:36:y:1963:p:394.
[Mer73] Robert Merton. “An Intertemporal Capital Asset Pricing
Model.” In: Econometrica 41.5 (1973), pp. 867–87.
url: http : / / EconPapers . repec . org / RePEc : ecm :
emetrp:v:41:y:1973:i:5:p:867-87.
[New05] MEJ Newman. “Power laws, Pareto distributions and
Zipf’s law.” In: Contemporary Physics 46.5 (2005), pp. 323–
351. doi: 10.1080/00107510500052444. eprint: http:
//www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00107510500052444.
url: http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.
1080/00107510500052444.
[Pag96] Adrian Pagan. “The econometrics of financial markets.”
In: Journal of Empirical Finance 3.1 (1996), pp. 15–
102. url: http://EconPapers.repec.org/RePEc:eee:
empfin:v:3:y:1996:i:1:p:15-102.
[Par96] V. Pareto. Cours d’économie politique professé á l’Université
de Lausanne. F. Rouge, 1896. url: https : / / books .
google.be/books?id=eIAOnQEACAAJ.
[Par06] Vilfredo Pareto. Manual of Political Economy. [1971]
Translated by Schwier Ann. Augustus M. Kelley, 1906.
isbn: 0678008817.
[Pec] Branko Pecar. Associations Between andWithin The Time
series. http : / / pecar - uk . com / Autocorrelations .
pdf. Accessed: 2017-05-16.
[Pfi+13] Roland Pfister, Katharina A Schwarz, Markus Janczyk,
Rick Dale, and Jon Freeman. “Good things peak in
pairs: a note on the bimodality coefficient.” In: Frontiers
in psychology 4 (2013), p. 700.
Bibliography 113
[PS06] V. Pisarenko and D. Sornette. “New statistic for financial
return distributions: Power-law or exponential?”
In: Physica A Statistical Mechanics and its Applications
366 (July 2006), pp. 387–400. doi: 10.1016/j.
physa.2005.10.015. eprint: physics/0403075.
[Por86] Theodore M. Porter. The Rise of Statistical Thinking,
1820-1900. Princeton, NJ, USA: Princeton University
Press, 1986. isbn: 0691084165.
[Qua17a] Quandl. Yahoo! Finance. https : / / finance . yahoo .
com/. Accessed: 2017-04-01. 2007-2017.
[Qua17b] Quandl. Core Financial Data. https://www.quandl.
com/. Accessed: 2017-04-01. 2011-2017.
[Ric08] Dean Rickles. Econophysics and Financial Market Complexity.
To appear in J. Collier and C. Hooker (eds.),
Handbook of the Philosophy of Science, Vol.10: Philosophy
of Complex Systems. North Holland: Elsevier.
Jan. 2008. url: http://philsci-archive.pitt.
edu/3851/.
[Sam65] P. Samuelson. “Proof That Properly Anticipated Prices
Fluctuate Randomly.” In: Industrial Management Review
6.2 (1965), pp. 41–50. url: https://www.ifa.
com/media/images/pdf%7B%5C%%7D20files/samuelsonproof.
pdf.
[Sch02] G. William Schwert. Anomalies and Market Efficiency.
Working Paper 9277. National Bureau of Economic
Research, Oct. 2002. doi: 10.3386/w9277. url: http:
//www.nber.org/papers/w9277.
[Sig13] Karl Sigman. Simulating Brownian motion (BM) and geometric
Brownian motion (GBM). http://www.columbia.
edu/~ks20/4404-Sigman/4404-Notes-sim-BM.pdf.
Accessed: 2017-05-26. 2013.
[SY05] A. C. Silva and V. M. Yakovenko. “Temporal evolution
of the thermal and superthermal income classes
in the USA during 1983 2001.” In: EPL (Europhysics
Letters) 69 (Jan. 2005), pp. 304–310. doi: 10 . 1209 /
epl/i2004-10330-3. eprint: cond-mat/0406385.
114 Bibliography
[SST02] Jonathan Silver, Eric Slud, and Keiji Takamoto. “Statistical
Equilibrium Wealth Distributions in an Exchange
Economy with Stochastic Preferences.” In: Journal
of Economic Theory 106.2 (2002), pp. 417–435. url:
http://EconPapers.repec.org/RePEc:eee:jetheo:
v:106:y:2002:i:2:p:417-435.
[Sim96] Herbert A. Simon. The Sciences of the Artificial (3rd
Ed.) Cambridge, MA, USA: MIT Press, 1996. isbn: 0-
262-69191-4.
[Sup17] Superdata. The MMO & MOBA Games Market Report,
2016. https://www.superdataresearch.com/marketdata/
mmo-market/. Accessed: 2017-05-12. 2017.
[Sut97] John Sutton. “Gibrat’s legacy.” In: Journal of economic
literature 35.1 (1997), pp. 40–59.
[Sze+12] M. Szell, R. Sinatra, G. Petri, S. Thurner, and V. Latora.
“Understanding mobility in a social petri dish.”
In: Scientific Reports 2, 457 (June 2012), p. 457. doi: 10.
1038/srep00457. arXiv: 1112.1220 [physics.soc-ph].
[Voi01] J. Voit. The Statistical Mechanics of Financial Markets.
Physics and astronomy online library. Springer, 2001.
isbn: 9783540414094. url: https://books.google.
be/books?id=TV-IQgAACAAJ.
[WFM07] Paul Windrum, Giorgio Fagiolo, and Alessio Moneta.
“Empirical Validation of Agent-Based Models:
Alternatives and Prospects.” In: Journal of Artificial
Societies and Social Simulation 10.2 (2007), p. 8. issn:
1460-7425. url: http://jasss.soc.surrey.ac.uk/
10/2/8.html.
[WW57] H. O. A. Wold and P. Whittle. “A Model Explaining
the Pareto Distribution of Wealth.” In: Econometrica
25.4 (1957), pp. 591–595.
[YR09] V. M. Yakovenko and J. B. Rosser Jr. “Colloquium:
Statistical mechanics of money, wealth, and income.”
In: Reviews of Modern Physics 81 (Oct. 2009), pp. 1703–
1725. doi: 10 . 1103 / RevModPhys . 81 . 1703. arXiv:
0905.1518 [q-fin.ST].
[Yak12] V.M. Yakovenko. “Applications of statistical mechanics
to economics: Entropic origin of the probability
distributions of money, income, and energy consumption.”
In: ArXiv e-prints (Apr. 2012). arXiv: 1204.6483
[q-fin.ST].
