Visuele wiskunde

Astrid De Vriendt
Visuele wiskunde: een theoretische uiteenzetting en praktische toepassing via algebrategels en algeblokken
Hoe kunnen leerkrachten de mentale beeldvorming ondersteunen van leerlingen van de eerste en tweede graad secundair onderwijs in het vak wiskunde door hun instructiemethodes en materialen aan te passen?

Spelen we binnenkort met algebrategels en algeblokken in het secundair onderwijs?

 

Waaraan denkt u bij het woord ‘wiskunde’? Ziet u een vierkant, een cirkel of een gelijkbenige driehoek? Misschien verschijnen er betekenisloze combinaties van x en y?  Wordt u eerder overvallen door een gevoel van onmacht en chaos, omdat u denkt het 'wiskundig 'inzicht' te missen? Mogelijk begint u te zweten van het beeld van een overweldigend volgeschreven schoolbord. In de klas hing misschien hier en daar een tekening van Escher die u zich nog denkt te herinneren... Mentale beelden kunnen heel krachtig zijn. In mijn bachelorproef ben ik op zoek gegaan naar manieren waarop wiskundeleerkrachten en scholen hun instructiemethode en materialen kunnen aanpassen om zo deze mentale associaties en het abstractievermogen van leerlingen te versterken. 

Vergroten van de concrete basis om meer ruimte te creëren in het abstracte eindpunt

Als leerlingen een nieuw concept voorgeschoteld krijgen, wordt er aanbevolen om te starten vanuit een concrete basis. Een voorbeeld imageuit het dagelijks leven zou leerlingen het nut van de leerstof laten zien. Deze kennismaking hoeft echter geen (vergezocht) realistisch voorbeeld te zijn. Voor sommige abstractere onderwerpen is zo'n context ook vaak geforceerd. Een voorbeeld hiervan is de introductie van onbekenden. Voor leerlingen komen de 'variabelen' vaak uit het niets. De 'procedures' leren ze vanbuiten en de oorsprong gaat verloren. Door een model zoals algebrategels en algeblokken in te zetten bij de introductie van onbekenden, kan je een zeer concreet beeld vastleggen. Dit model zal dan uiteindelijk ook flexibel kunnen worden ingezet bij de introductie van bewerkingen met onbekenden, ontbinden in factoren, oplossen van vergelijkingen... Het model wordt een constante doorheen de hele schoolcarrière. Hierop kan de leerling dan terugvallen om de abstracte fase vlotter te doorlopen. 

DE THEORIE: Vier voorwaarden en negen uitgangspunten

Om te weten wat werkt en niet werkt, kunnen we heel wat pedagogen nalezen. Het valt echter op dat er voor het secundair onderwijs weinig te vinden is over visualiseren. Het gebruik van modellen blijkt meer geïntegreerd te zijn in het basisonderwijs. De laatste decennia zien we wel evoluties in andere landen die nieuwe modellen vinden, zoals in de VS en Zweden. Uit een bevraging van 147 West-Vlaamse wiskundeleerkrachten van de eerste en tweede graad secundair onderwijs, bleek dat deze modellen hier niet gekend zijn. De leerkrachten erkennen wel dat ze te weinig gevarieerd visualiseren. Als de middelen er zijn en de leerkrachten vinden deze efficiënt in de lespraktijk, gebruiken ze deze ook. Het aanbod in Vlaanderen voor het secundair onderwijs is (te) klein, zoals ook bleek uit de onderwijsbeurs 'Tools for Schools 2017'. 

Op basis van theorieën van pedagogen zoals Pestallozi, Montessori, Mayer, Skemp en Dienes, kwam ik uiteindelijk tot één overkoepelende theorie rond visuele wiskunde. Deze bestaat uit negen uitgangspunten en vier voorwaarden om een model efficiënt in te zetten.

image

DE PRAKTIJK: algeblokken en algebrategels 

Volgens de PISA-resultaten van 2015 gaat het goed met de wiskundegeletterdheid van leerlingen in het vierde middelbaar. Als we deze resultaten vergelijken met de gelijktijdige peilingstoetsen in de 3de graad, zien we echter een verschil. Een groot gedeelte van de leerlingen haalt op het einde van de derde graad de eindtermen niet. Het is net in die laatste jaren dat het abstractieniveau hoger ligt. We zien vooral een probleem bij de meer algebraïsche vaardigheden. Daarom besloot ik vooral mogelijkheden te zoeken voor algebra. Ik koos ook voor offline modellen. Door de vele digitale projecties/programma's die vandaag worden gebruikt, zijn de meeste beelden in de wiskundeklas vluchtig. Na enkele seconden verdwijnen ze uit de klas. Door analoge modellen en beelden in de klas te gebruiken, kunnen bepaalde beelden echt op het netvlies gebrand worden. De combinatie met de digitale middelen, zorgt voor een gevarieerd aanbod.

AlgeblokkenAlgebrategelsNet zoals je in het eerste leerjaar van de basisschool leert tellen met eenheidsblokjes, kan je nu dus ook leren werken met onbekenden met behulp van algebrategels en algeblokken. Dit is de concrete basis van waaruit leerlingen dan later (hopelijk) efficiënter kunnen abstraheren. Een set algebrategels bestaat uit papieren vierkanten en rechthoeken uit verschillende kleuren, die allemaal iets anders voorstellen. Een geel vierkant is op die manier een eenheidsplaatje, terwijl een blauw vierkant de onbekende x is. Zie jij hoe deze leerling de eerstegraadsvergelijking heeft opgelost met de algebrategels? 

Algeblokken gaan verder dan de algebrategels. Deze zijn eerder bedoeld voor de hogere jaren. Het zijn kubussen en balken in verschillende kleuren en combinaties. Zo kan je ook met een derdemacht werken in drie dimensies. Algeblokken zijn gemakkelijk manipuleerbaar. De leerlingen kunnen zo echt actief de bewerkingen uitvoeren.

Algebrategels en algeblokken zijn zeer breed inzetbaar in het secundair wiskundeonderwijs. Het is wel de bedoeling dat de tegels en blokken consistent gebruikt worden vanaf het eerste middelbaar. Hieronder kan je een overzicht terugvinden van onderwerpen waarbij algebrategels en algeblokken ingezet kunnen worden:

image

Naast het gebruik in de 'klassikale' momenten, kunnen algebrategels en algeblokken ook als remediërings- of differentiatiehulpmiddel gelden. 

Door dergelijke modellen meer te introduceren in het Vlaamse wiskundeonderwijs, hoop ik dat de angst voor wiskunde geleidelijk zal veranderen in nieuwsgierigheid. Ik hoop dat er later een generatie mag opgroeien die terug zal denken aan het woord 'wiskunde' met andere associaties. Een gevoel van succes na het vinden van een oplossing, een beeld van een formule met een bijhorende betekenis, een gedachte aan leuke, activerende algebralessen, een herinnering aan een kleurrijk wiskundelokaal met intrigerend materiaal... 

 

Bibliografie

Alibali, M. W., & Nathan, M. (2011). Embodiment in Mathematics Teaching and Learning: Evidence from learners 'and Teachers' Gestures. London: Routledge. 
Beunk, G. (2014). Hoofd, hart en handen. In P. Murre, B. de Muynck, & H. Vermeulen, In Vitale idealen, voorbeeldige praktijken II (pp. 90-105). Amsterdam: Buijten & Schipperheijn. 
Boaler, J. (2016). Mathematical Mindsets: Unleashing Students' Potential through Creative Math, inspriring Messages and Innovative Teaching. Chappaqua, NY: Jossey-Bass/Wiley. 
Boaler, J. (2017, Januari 5). Mistakes 'grow' your brain. Opgehaald van Youcubed: https://www.youcubed.org/resource/brain-science/ 
Boaler, J., Chen, L., Williams, C., & Cordero. (2016, oktober 12). Seeing as understanding: The importance of Visual Mathematics for our brain and Learning. Opgehaald van Journal of Applied & Computational Mathematics: https://www.omicsonline.org/open-access/seeing-as-understanding-theimpo… 
Brentwood (Regisseur). (2009). Pythagorean theorem water demo [Film]. 
Claes, B. (2016). Ijsbergdidactiek. Opgehaald van Leerstudio: http://www.leerstudio.be/leerstudio/ijsbergdidactiek/ 
De Bock, D., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2003). Het succes van de nieuwe wiskunde. Karakter, 16-20. 
De Ridder, I., & Vanwalleghem, S. (2010). Realistisch rekenen in de klas. Een studie naar het handelen van leerkrachten in het vierde leerjaar. Gent: Universiteit Gent. 
Depaepe, M. (2012). In Between Educationalization and appropriation: selected writing on the History of Modern Educational Systems. Leuven: Leuven University Press. 
Freudenthal, H. (1991). Revisiting Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 
Gerjets, P., & Kirschner, P. (2009). Learning from multimedia and hypermedia. In Balacheff, Technologyenhanced learning. New York: NY: Springer. 
Gravemeijer, K. (1993). Methoden in het reken-wiskundeonderwijs, een rijke context voor vergelijkend onderzoek. Utrecht: Technipress. 
Hand2Mind. (z.j.). Algeblocks deluxe classroom kit. Opgehaald van Hand 2 mind: http://www.hand2mind.com/item/algeblocks-deluxe-classroom-kit/9240 
Jacobs, B., & Steels, L. (2017, mei 12). Rekenen onder de ijsberg. Opgehaald van Go! Onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap: http://www.g-o.be/rekenen-onder-de-ijsberg/ 
Kiefer, M., & Trumpp, N. M. (2012). Embodiment theory and education: the foundations of cognition in perception and action. Ulm: Elsevier. 
KNAW. (2009). Rekenonderwijs op de basisschool: analyse en sleutels tot verbetering. Amsterdam: Koninklijke Nederlandse akademie van weenschappen. 
KU Leuven. (2015, mei 28). Peiling wiskunde in de derde graad secundair onderwijs. Opgehaald van Onderwijs Vlaanderen: http://onderwijs.vlaanderen.be/nl/peilingsresultaten-wiskunde-vragen-om… 
KULeuven. (2017, augustus 17). Metacognitie. Opgehaald van KU Leuven: https://www.kuleuven.be/onderwijs/ken-je-studenten/leren-van-studenten/… 
Laski, E. V., Jor'dan, J. R., Dauoust, C., & Murray, A. (2015). What makes mathematics Manipulatives effective? Lessons from cognitive science and montessori education. Boston: Sage. 
MathBits. (z.j.). Working with algebratiles. Opgehaald van Mathbits: https://mathbits.com/MathBits/AlgebraTiles/AlgebraTiles/AlgebraTiles.ht… 
Mayer. (2001). Multimedia Learning. New York: Cambridge University Press. 
Mayer, R. E. (2014). Multimedia instruction. In J. M. Spector, M. D. Merrill, J. Elen, & M. J. Bishop, Handbook of Research on Educational Communications and Technology (pp. 385-399). New York: NY: Springer. 
Montessori. (1921). De methode montessori. Zelfopvoeding van het Jonge Kind. Amsterdam: J. Ploegsma. 
Montessori, M., George, A., & Holmes, H. (1912). The Monessori method. New York: Frederick A. Stokes Company. 
Moyer-Packenham, P. S. (2001). Are we having fun yet? How teachers use manipulatives to teach mathematics. Utah: DigitalCommons. 
Paivio, A. (1971). Imagery and verbal processes. New York: NY: Holt, Rinehart & Winston. 
Rivera, F. (2011). Toward a Visually-oriented school mathematics curriculum. New York: Springer. 
Rogers, A. (2014). The base of the iceberg: Informal learning and its impact on formal and. Berlin: Barbare Budrich Publishers. 
Speld, N. (2016, Oktober s.d.). Visualisation and the Concrete Pictorial Abstract Approach. Opgehaald van Judy Hornigold.uk: http://www.speld.org.nz/downloads/1%20Visualisation%20&%20the%20Concret… Abstract%20Approach.pptx 
Sriraman, B., & Wu, K. (2014). Embodied Cognition. In S. Lerman, Encyclopedia of Mathematics Education (pp. 207-209). Dordrecht: Springer. 
Streefland, L. (1991). Mathematics education: A paradigm of developmental research. Dordrecht: Kluwer. 
Sweller, J. (2005). Implications of congintive load theory for multimedia learning. In R. E. Mayer, Cambridge handbook of multimedia learning (pp. 19-30). New York: Cambridge University Press. 
Treffers, A. (1978). Wiskobas doelgericht. Utrecht: Instituut voor Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs. 
Treffers, A., & de Goeij, E. (2004). Vierkant tegen zelfstandig werken. Panama-Post, 8-13. 
Universiteit Gent. (2013, december 5). Pisa 2012. Opgehaald van Pisa: http://www.pisa.ugent.be/nl/resultaten/vlaamse-publicaties/2012 
Universiteit Gent. (2015). Wiskundige geletterdheid: overzicht van de eerste Vlaamse resultaten van Pisa 2015. Gent: Academic press. 
Universiteit Gent. (2017, mei 23). PISA 2015. Opgehaald van PISA Ugent: http://www.pisa.ugent.be/nl/resultaten/vlaamse-publicaties/2015 
Valcke, M. (2005). Onderwijskunde als ontwerpwetenschap. Gent: Academia Press. 
Van der Leij, L. (2013). Fysieke versus virtuele manipulatieven via het digibord. Twente: Universiteit Twente. 
van Gelder, L., Wijdeveld, E., Goffree, F., & Krooshof, G. (1968). Moderne wiskunde en het basisonderwijs. . Groningen: Wolters-Noordhoff. 
Van Ruyskenvelde, S. (2018). Geschiedenis van onderwijs, opvoeding en vorming. Kortrijk: Acco. 
Verschaffel, L. (2005). All you wanted to know about 'mathematic education' in Flanders, but were afraid to ask. In E. de Goeij, & R. Keijzer, Rekenen-wiskunde als rijke bron. (pp. 65-85). Utrecht: Freudenthal Instituut. 
Vincent Leermiddelen. (z.j.). wiskunde. Opgehaald van Vincent Leermiddelen: http://www.leermiddelen.be/nl/wiskunde 
Vlaamse overheid. (2017, oktober 1). Alle vestigingsplaatsen met methode montessori. Opgehaald van Onderwijs vlaanderen: https://dataonderwijs.vlaanderen.be/onderwijsaanbod/lijst.aspx?methode=… 
Webb, D. C. (2014). Blooms taxonomy in mathematics education. In S. Lerman, Encyclopedia of Mathematics Education (pp. 63-67). Dordrecht: Springer Science. 

Universiteit of Hogeschool
Bachelor secundair onderwijs (Wiskunde-Biologie)
Publicatiejaar
2018
Promotor(en)
Rudy Briers
Kernwoorden
Deel deze scriptie