Kwantum zwarte gaten in twee dimensies
De informatieparadox van Hawking blijft één van de meest prangende onopgeloste problemen in de moderne fysica. Sommigen spreken zelfs over de "black hole war" tussen tegenstrijdige ideeën over of informatie al dan niet bewaard wordt in een zwart gat. Is deze oorlog nu eindelijk beslecht door fictieve wormgaten? In deze scriptie werp ik een alternatieve kijk op de relevante kwantumoplossingen van deze modellen en bekijken we wat ermee gebeurt in de context van supersymmetrie.
Eén van de voornaamste doelstellingen in de moderne fysica is het verenigen van de microscopische wereld van de kwantummechanica met de algemene relativiteitstheorie van Einstein, dat de zwaartekracht op grote afstanden beschrijft. Een volledige theorie van kwantumzwaartekracht zou alle elementaire deeltjes en fundamentele natuurkrachten moeten samenbrengen in een "theorie van alles”.
Bij elke conventionele poging loopt men echter wiskundig vast op oneindigheden in de zwaartekrachtberekeningen, die verergeren bij elke hogere orde van kwantumcorrectie. Een consistente theorie van kwantumzwaartekracht zou een ultieme beschrijving moeten opleveren van de Big Bang en de microscopische aard van zwarte gaten. Deze laatste zijn regimes in de ruimtetijd waar de zwaartekracht zo sterk is dat niets eraan kan ontsnappen, zelfs geen licht.
De idee van kwantumzwaartekracht kwam pas echt op gang toen Hawking als eerste de kwantumvelden in de omgeving van een zwart gat bestudeerde. Hoewel hij de ruimtetijd van een zwart gat zelf niet kwantiseerde, kwam hij toch tot de conclusie dat zwarte gaten helemaal niet zo zwart zijn als eerst werd gedacht. Zwarte gaten blijken namelijk straling uit te zenden aan een bepaalde temperatuur die evenredig is met de grootte van het zwarte gat, en kunnen op die manier volledig verdampen in een eindige tijd. Deze beschrijving staat echter haaks op de elementaire principes van de kwantummechanica. Volgens Hawking was het immers onmogelijk dat pure materie (zoals een ster of een ruimteschip dat opgeslokt wordt door het zwarte gat) later wordt omgezet tot kwantummechanische straling. Dit leidt tot de beroemde “Hawking informatieparadox”. Het oplossen van deze paradox is een van de belangrijkste doelstellingen van een hypothetische theorie van kwantumzwaartekracht.
De afgelopen decennia hebben ons van snaartheorie tot holografie geleid. Holografie stelt dat elke kwantumtheorie met zwaartekracht kan worden beschreven door een kwantumtheorie zonder zwaartekracht aan de rand van het universum. Stel je dus voor dat het volledige universum een holografische projectie is vanuit de rand. Omdat er op die rand zelf geen zwaartekracht aanwezig is, doet dit vermoeden dat de Hawking straling wel degelijk consistent met de principes van de kwantummechanica moet evolueren, en dat de informatie uit het zwarte gat ergens moet ontsnappen via subtiele correlaties in de Hawking straling.
In de context van holografie zijn fictieve lagere-dimensionale zwaartekrachtmodellen momenteel enorm populair binnen de wetenschappelijke gemeenschap. Kwantumgravitatie voor deze modellen is wiskundig wel consistent en vermijdt de oneindigheden en andere absurditeiten waarmee hogerdimensionale modellen te kampen hebben. Een zwaartekrachtmodel dat de laatste jaren veel aandacht heeft gekregen, is het tweedimensionale Jackiw-Teitelboim (JT) zwaartekrachtmodel. Dit model kan een klasse van zwarte gaten nabij de horizon in ons universum beschrijven, en zal het onderwerp vormen van deze scriptie.
Dit model van tweedimensionale zwaartekracht lost ook de Hawking informatieparadox op. In 2020 werd bijvoorbeeld voorgesteld om het informatieverlies uit een zwart gat te modelleren met behulp van wormgaten. Wiskundig gezien is het namelijk vaak eenvoudiger om dit informatieverlies te beschrijven via verschillende kopieën van het zwarte gat. Aan het einde van de berekening beperken we ons dan tot één van deze kopieën. In de klassieke berekeningen van Hawking wordt de geometrie van de ruimtetijd zelf vastgehouden. Om echter een volledige kwantumbeschrijving te bekomen, moet de ruimtetijd zelf ook kunnen fluctueren. Volgens de principes van de kwantummechanica wordt de evolutie tussen twee verschillende configuraties namelijk steeds beschreven door de optelsom van alle mogelijke tussenliggende configuraties. Veel van deze individuele configuraties zijn klassiek gezien volkomen absurd en onmogelijk, maar de optelsom geeft wel de juiste evolutie weer. Wat als sommige van die paden in het verdampingsproces worden beschreven door wormgaten die de verschillende kopieën van het zwarte gat met elkaar verbinden?
In de context van 2D JT zwaartekracht kunnen de relevante oplossingen voor deze configuraties exact worden berekend, en levert dit inderdaad het langverwachte resultaat op. In het begin van het verdampingsproces groeit het informatieverlies van de Hawking straling gestaag, zoals voorspeld door de klassieke berekeningen van Hawking. De ruimtetijd wordt in dit geval beschreven door afzonderlijke statische kopieën van het zwarte gat. Na verloop van tijd verandert de dominante configuratie naar de door wormgaten verbonden zwarte gaten. Hierna neemt het informatieverlies terug af, om uiteindelijk zelfs tot nul te dalen wanneer het zwarte gat volledig verdampt is. Toch is hiermee niet alles opgelost. In sommige van deze kwantumoplossingen treden namelijk opnieuw valse oneindigheden op. Daarnaast moeten enkele omslachtige technieken worden toegepast om de relevante kwantumoplossingen te verkrijgen.
In deze scriptie werp ik een alternatieve kijk op deze berekeningen en kom ik tot de relevante kwantumoplossingen vanuit een ander perspectief, gebasseerd op eerder onderzoek. Dit perspectief wordt volledig bepaald door de dieperliggende wiskundige structuren van het zwaartekrachtmodel en volgt automatisch uit de reeds bestaande wiskundige literatuur.
Dit perspectief wordt dan later ook benut om voor het eerst een beschrijving van de relevante kwantumoplossingen te geven in de context van supersymmetrie. Supersymmetrie is een theorie die stelt dat er voor elk bekend deeltje in de natuur een hypothetisch partnerdeeltje bestaat, wat kan voorkomen dat wiskundige oneindigheden optreden in de kwantumoplossingen. Ook hier merken we inderdaad op dat de incorporatie van supersymmetrie volledig wiskundig consistent is, en dat sommige van de supersymmetrische kwantumoplossingen helemaal geen valse oneindigheden bevatten. De uitdrukkingen voor deze supersymmetrische kwantumoplossingen kunnen dan later mogelijk ook aangewend worden om het verdampingsproces te bestuderen in de context van supersymmetrie.
Bibliografie
[1] F. Englert and R. Brout, “Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons,” Phys. Rev. Lett., vol. 13, pp. 321–323, 1964.
[2] P. W. Higgs, “Broken symmetries and the masses of gauge bosons,” Phys. Rev. Lett., vol. 13, pp. 508–509, Oct 1964. [Online]. Available: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.13.508
[3] S.WeinbergandE.Witten,“Limitsonmasslessparticles,”PhysicsLettersB,vol.96,no.1-2,pp.59–62, Oct. 1980.
[4] J. M. Maldacena, “The Large N limit of superconformal field theories and supergravity,” Adv. Theor. Math. Phys., vol. 2, pp. 231–252, 1998.
[5] C. R. Stephens, G. '. Hooft, and B. F. Whiting, “Black hole evaporation without information loss,” Classical and Quantum Gravity, vol. 11, no. 3, pp. 621–647, mar 1994. [Online]. Available: https://doi.org/10.1088%2F0264-9381%2F11%2F3%2F014
[6] L. Susskind, “The world as a hologram,” Journal of Mathematical Physics, vol. 36, no. 11, pp. 6377–6396, nov 1995. [Online]. Available: https://doi.org/10.1063%2F1.531249
[7] S. W. Hawking, “Particle creation by black holes,” Communications in Mathematical Physics, vol. 43, no. 3, pp. 199 – 220, 1975. [Online]. Available: https://doi.org/
[8] J. D. Bekenstein, “Black holes and entropy,” Phys. Rev. D, vol. 7, pp. 2333–2346, Apr 1973. [Online]. Available: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.7.2333
[9] J. Maldacena, “Eternal black holes in anti-de sitter,” Journal of High Energy Physics, vol. 2003, no. 04, pp. 021–021, apr 2003.
[10] E. Witten, “Anti de sitter space and holography,” 1998. [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/hep- th/9802150
[11] S. Gubser, I. Klebanov, and A. Polyakov, “Gauge theory correlators from non-critical string theory,” Physics Letters B, vol. 428, no. 1-2, pp. 105–114, may 1998.
[12] J. Maldacena, J. Michelson, and A. Strominger, “Anti-de sitter fragmentation,” Journal of High Energy Physics, vol. 1999, no. 02, pp. 011–011, feb 1999.
[13] R. Jackiw, “Lower dimensional gravity,” Nuclear Physics B, vol. 252, pp. 343–356, 1985. [Online]. Available: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321385904481
[14] C. Teitelboim, “Gravitation and hamiltonian structure in two spacetime dimensions,” Physics Letters B, vol. 126, no. 1, pp. 41–45, 1983. [Online]. Available: https://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/0370269383900126
[15] A. Almheiri and J. Polchinski, “Models of AdS2 backreaction and holography,” JHEP, vol. 11, p. 014, 2015.
[16] J. Engelsöy, T. G. Mertens, and H. Verlinde, “An investigation of AdS2 backreaction and holography,” JHEP, vol. 07, p. 139, 2016.
[17] J. Maldacena, D. Stanford, and Z. Yang, “Conformal symmetry and its breaking in two dimensional nearly anti-de-sitter space,” 2016. [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/1606.01857
[18] S. Sachdev and J. Ye, “Gapless spin-fluid ground state in a random quantum heisenberg magnet,” Phys. Rev. Lett., vol. 70, pp. 3339–3342, May 1993. [Online]. Available: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.70.3339
[19] J. Maldacena and D. Stanford, “Remarks on the sachdev-ye-kitaev model,” Physical Review D, vol. 94, no. 10, nov 2016. [Online]. Available: https://doi.org/10.11032Fphysrevd.94.106002
[20] D. Stanford and E. Witten, “Fermionic Localization of the Schwarzian Theory,” JHEP, vol. 10, p. 008, 2017.
[21] T. Mertens, G. Turiaci, and H. Verlinde, “Solving the schwarzian via the conformal bootstrap,” Journal of High Energy Physics, vol. 2017, 05 2017.
[22] A. Blommaert, T. Mertens, and H. Verschelde, “The schwarzian theory a wilson line perspective,” Journal of High Energy Physics, vol. 2018, 12 2018.
[23] L. V. Iliesiu, S. S. Pufu, H. Verlinde, and Y. Wang, “An exact quantization of jackiw-teitelboim gravity,” Journal of High Energy Physics, vol. 2019, no. 11, nov 2019.
[24] A.Blommaert,T.G.Mertens,andH.Verschelde,“Finestructureofjackiw-teitelboimquantumgravity,” Journal of High Energy Physics, vol. 2019, no. 9, sep 2019.
[25] T. G. Mertens and G. J. Turiaci, “Solvable models of quantum black holes: A review on jackiw- teitelboim gravity,” 2022.
[26] J. Maldacena, S. H. Shenker, and D. Stanford, “A bound on chaos,” Journal of High Energy Physics, vol. 2016, no. 8, aug 2016.
[27] H.T.Lam,T.G.Mertens,G.J.Turiaci,andH.Verlinde,“Shockwaves-matrixfromschwarzianquantum mechanics,” Journal of High Energy Physics, vol. 2018, no. 11, nov 2018.
[28] S. W. Hawking, “Breakdown of predictability in gravitational collapse,” Phys. Rev. D, vol. 14, pp. 2460–2473, Nov 1976. [Online]. Available: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.14.2460
[29] J. Cotler, G. Gur-Ari, M. Hanada, J. Polchinski, P. Saad, S. Shenker, D. Stanford, A. Streicher, and M. Tezuka, “Black holes and random matrices,” Journal of High Energy Physics, vol. 2017, 11 2016.
[30] P. Saad, S. H. Shenker, and D. Stanford, “JT gravity as a matrix integral,” 3 2019.
[31] A. Almheiri, N. Engelhardt, D. Marolf, and H. Maxfield, “The entropy of bulk quantum fields and the entanglement wedge of an evaporating black hole,” Journal of High Energy Physics, vol. 2019, no. 12, dec 2019.
[32] G. Penington, “Entanglement wedge reconstruction and the information paradox,” 2019. [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/1905.08255
[33] S. Ryu and T. Takayanagi, “Holographic derivation of entanglement entropy from the anti–de sitter space/conformal field theory correspondence,” Physical Review Letters, vol. 96, no. 18, may 2006.
[34] G. Penington, S. H. Shenker, D. Stanford, and Z. Yang, “Replica wormholes and the black hole interior,” 2019. [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/1911.11977
[35] A. Almheiri, T. Hartman, J. Maldacena, E. Shaghoulian, and A. Tajdini, “Replica wormholes and the entropy of hawking radiation,” Journal of High Energy Physics, vol. 2020, no. 5, may 2020.
[36] P.Gao,D.L.Jafferis,andD.K.Kolchmeyer,“Aneffectivematrixmodelfordynamicalendoftheworld branes in jackiw-teitelboim gravity,” Journal of High Energy Physics, vol. 2022, no. 1, jan 2022.
[37] T.G.MertensandG.J.Turiaci,“Defectsinjackiw-teitelboimquantumgravity,”JournalofHighEnergy Physics, vol. 2019, no. 8, aug 2019.
[38] A. Blommaert and M. Usatyuk, “Microstructure in matrix elements,” Journal of High Energy Physics, vol. 2022, no. 9, sep 2022.
[39] S. Förste and I. Golla, “Nearly ads2 sugra and the super-schwarzian,” Physics Letters B, vol. 771, pp. 157–161, aug 2017.
[40] Y. Fan and T. G. Mertens, “Supergroup structure of jackiw-teitelboim supergravity,” Journal of High Energy Physics, vol. 2022, no. 8, aug 2022.
[41] G. Sarosi, “Ads2 holography and the syk model,” in Proceedings of XIII Modave Summer School in Mathematical Physics (Modave2017). Sissa Medialab, mar 2018.
[42] D. A. Trunin, “Pedagogical introduction to the sachdev–ye–kitaev model and two-dimensional dilaton gravity,” Physics-Uspekhi, vol. 64, no. 3, pp. 219–252, jun 2021.
[43] M. P. Heller, Quantum Black Holes and Holography. Ghent University, 2022.
[44] A. Blommaert, “Quantum gravity in two dimensions,” 2020.
[45] S. Cordes, G. Moore, and S. Ramgoolam, “Lectures on 2d yang-mills theory, equivariant cohomology and topological field theories,” Nuclear Physics B - Proceedings Supplements, vol. 41, no. 1-3, pp. 184–244, apr 1995.
[46] S. Matsumoto, S. Uehara, and Y. Yasui, “A superparticle on the super Riemann surface,” Journal of Mathematical Physics, vol. 31, no. 2, pp. 476–501, 02 1990.
[47] G. Hooft, “A planar diagram theory for strong interactions,” Nuclear Physics B, vol. 72, no. 3, pp. 461–473, 1974. [Online]. Available: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ 0550321374901540
[48] R. Hedrich, “Quantum gravity: Motivations and alternatives,” 2009. [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/0908.0355
[49] A. Shomer, “A pedagogical explanation for the non-renormalizability of gravity,” 2007.
[50] H.Erbin,“Noteson2dquantumgravityandLiouvilletheory,”SorbonneUniversités,UPMCUnivParis
06, UMR 7589, LPTHE, F-75005, Paris, France.
[51] H. Verschelde, Quantum Black Holes and Holography. Ghent University, 2020.
[52] R.BlumenhagenandE.Plauschinn,IntroductiontoConformalFieldTheoryWithApplicationstoStringTheory. Springer, 2009.
[53] K. Jensen, S. Kachru, A. Karch, J. Polchinski, and E. Silverstein, “Towards a holographic marginal fermi liquid,” Physical Review D, vol. 84, no. 12, dec 2011.
[54] J. Maldacena and L. Susskind, “D-branes and fat black holes,” Nuclear Physics B, vol. 475, no. 3, pp. 679–687, sep 1996.
[55] J. Maldacena and A. Strominger, “Universal low-energy dynamics for rotating black holes,” Physical Review D, vol. 56, no. 8, pp. 4975–4983, oct 1997.
[56] M. Headrick, “Compendium of useful formulas,” 2022.
[57] P. Nayak, A. Shukla, R. M. Soni, S. P. Trivedi, and V. Vishal, “On the dynamics of near-extremal black
holes,” Journal of High Energy Physics, vol. 2018, no. 9, sep 2018.
[58] U. Moitra, S. P. Trivedi, and V. Vishal, “Extremal and near-extremal black holes and near-CFT1,” Jour-
nal of High Energy Physics, vol. 2019, no. 7, jul 2019.
[59] D. Z. Freedman and A. Van Proeyen, Supergravity. Cambridge University Press, 2012.
[60] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Benjamin Cum- mings, 2003. [Online]. Available: http://www.amazon.com/Spacetime-Geometry-Introduction-General- Relativity/dp/0805387323
[61] J. Maldacena, S. H. Shenker, and D. Stanford, “A bound on chaos,” Journal of High Energy Physics, vol. 2016, no. 8, aug 2016.
[62] T. Hartman, Lectures on Quantum Gravity and Black Holes. Cornell University, 2015.
[63] D. L. Karatas and K. L. Kowalski, “Noethers theorem for local gauge transformations,” American Journal of Physics, vol. 58, no. 2, pp. 123–131, 1990. [Online]. Available: https: //doi.org/10.1119/1.16219
[64] T. G. Mertens, “The schwarzian theory: origins,” Journal of High Energy Physics, vol. 2018, no. 5, may 2018.
[65] G. W. Gibbons and S. W. Hawking, “Action integrals and partition functions in quantum gravity,” Phys. Rev. D, vol. 15, pp. 2752–2756, May 1977. [Online]. Available: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.15.2752
[66] E. Witten, “Coadjoint Orbits of the Virasoro Group,” Commun. Math. Phys., vol. 114, p. 1, 1988.
[67] S. Vandoren, Lectures on Riemannian Geometry, Part II: Complex Manifolds. Institute for Theoretical
Physics and Spinoza Institute Utrecht University, 2008.
[68] J. J. Duistermaat and G. J. Heckman, “On the Variation in the cohomology of the symplectic form of
the reduced phase space,” Invent. Math., vol. 69, pp. 259–268, 1982.
[69] G. Mandl, F.; Shaw, Quantum Field Theory, second edition. Wiley, 2009.
[70] D. Z. Freedman, S. D. Mathur, A. Matusis, and L. Rastelli, “Correlation functions in the CFTd/AdSd1 correspondence,” Nuclear Physics B, vol. 546, no. 1-2, pp. 96–118, apr 1999.
[71] I. Gradshteyn and I. Ryzhik, Table of integrals, series, and products. Academic Press, 1965.
[72] T. G. Mertens, JT gravity: a review. Iberian Strings, 2021.
[73] F. M. Haehl and M. Rozali, “Fine grained chaos in gravity,” Physical Review Letters, vol. 120, no. 12, mar 2018.
[74] E. Witten, “(2+1)-Dimensional Gravity as an Exactly Soluble System,” Nucl. Phys. B, vol. 311, p. 46, 1988.
[75] J. Cotler and K. Jensen, “A theory of reparameterizations for AdS3 gravity,” Journal of High Energy Physics, vol. 2019, no. 2, feb 2019.
[76] L. Donnay, “Asymptotic dynamics of three-dimensional gravity,” 2016.
[77] J. Fuchs and C. Schweigert, Symmetries, Lie algebras and representations: A graduate course for physi-
cists. Cambridge University Press, 10 2003.
[78] K. Isler and C. A. Trugenberger, “A Gauge Theory of Two-dimensional Quantum Gravity,” Phys. Rev.
Lett., vol. 63, p. 834, 1989.
[79] A. H. Chamseddine and D. Wyler, “Gauge Theory of Topological Gravity in (1+1)-Dimensions,” Phys.
Lett. B, vol. 228, pp. 75–78, 1989.
[80] E. Witten, “Quantum Field Theory and the Jones Polynomial,” Commun. Math. Phys., vol. 121, pp.
351–399, 1989.
[81] N. Ikeda and K.-I. Izawa, “General form of dilaton gravity and nonlinear gauge theory,” Progress of Theoretical Physics, vol. 90, no. 1, pp. 237–245, jul 1993.
[82] P.SchallerandT.Strobl,“Poissonstructureinduces(topological)fieldtheories,”ModernPhysicsLetters A, vol. 09, no. 33, pp. 3129–3136, oct 1994.
[83] Schaller and Strobl, “Introduction to poisson sigma-models,” in Low-Dimensional Models in Statistical Physics and Quantum Field Theory. Springer Berlin Heidelberg, pp. 321–333.
[84] E. Witten, “Three-dimensional gravity revisited,” 2007.
[85] ——, “On quantum gauge theories in two-dimensions,” Commun. Math. Phys., vol. 141, pp. 153–209, 1991.
[86] B. V.-D. Cuiper, “Two-dimensional yang-mills and string theory,” 2021.
[87] H. L. Verlinde, “Conformal Field Theory, 2-D Quantum Gravity and Quantization of Teichmuller
Space,” Nucl. Phys. B, vol. 337, pp. 652–680, 1990.
[88] Y. C. Ong, “Note: Where is the commutation relation hiding in the path integral formulation?” 2012.
[89] B.PonsotandJ.Teschner,“Liouvillebootstrapviaharmonicanalysisonanoncompactquantumgroup,” 1999.
[90] N. J. Vilenkin and A. U. Klimyk, Representation of Lie Groups and Special Functions, volume 1. Springer, 1995.
[91] J. Maldacena and L. Susskind, “Cool horizons for entangled black holes,” Fortschritte der Physik, vol. 61, no. 9, pp. 781–811, aug 2013.
[92] I. Kourkoulou and J. Maldacena, “Pure states in the syk model and nearly-ads2 gravity,” 2017.
[93] Z.Yang,“Thequantumgravitydynamicsofnearextremalblackholes,”JournalofHighEnergyPhysics,
vol. 2019, no. 5, may 2019.
[94] A.KitaevandS.J.Suh,“Statisticalmechanicsofatwo-dimensionalblackhole,”JournalofHighEnergy
Physics, vol. 2019, no. 5, may 2019.
[95] M. Ammon, A. Castro, and N. Iqbal, “Wilson lines and entanglement entropy in higher spin gravity,”
Journal of High Energy Physics, vol. 2013, no. 10, oct 2013.
[96] A. Castro, N. Iqbal, and E. Llabrés, “Wilson lines and ishibashi states in AdS3/CFT2,” Journal of High
Energy Physics, vol. 2018, no. 9, sep 2018.
[97] H. Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets.
Freie Universität Berlin, Germany, 2009.
[98] H. Vernaeve, Complexe Analyse. Ghent University, 2020.
[99] A. Blommaert, T. G. Mertens, and H. Verschelde, “Clocks and rods in jackiw-teitelboim quantum grav- ity,” Journal of High Energy Physics, vol. 2019, no. 9, sep 2019.
[100] N. Digital Liberary of Mathematical Functions. Modified bessel function. [Online]. Available: https://dlmf.nist.gov/10.41
[101] A. Almheiri, T. Hartman, J. Maldacena, E. Shaghoulian, and A. Tajdini, “The entropy of hawking radiation,” Reviews of Modern Physics, vol. 93, no. 3, jul 2021.
[102] D. Stanford and E. Witten, “Jt gravity and the ensembles of random matrix theory,” 2020.
[103] B. Zwiebach, A First Course in String Theory. Cambridge University Press, 2004.
[104] P. S. Howe, “Super weyl transformations in two dimensions,” Journal of Physics A: Mathematical and General, vol. 12, no. 3, p. 393, mar 1979. [Online]. Available: https://dx.doi.org/10.1088/0305- 4470/12/3/015
[105] A. Chamseddine, “Superstrings in arbitrary dimensions,” Physics Letters B, vol. 258, no. 1, pp. 97–103, 1991. [Online]. Available: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/037026939191215H
[106] E. Martinec, “Superspace geometry of fermionic strings,” Phys. Rev. D, vol. 28, pp. 2604–2613, Nov 1983. [Online]. Available: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.28.2604
[107] L. Frappat, A. Sciarrino, and P. Sorba, “Dictionary on lie superalgebras,” 1996.
[108] M.Henneaux,L.Maoz,andA.Schwimmer,“Asymptoticdynamicsandasymptoticsymmetriesofthree-
dimensional extended AdS supergravity,” Annals of Physics, vol. 282, no. 1, pp. 31–66, may 2000.
[109] T. Mertens and F. Mariani, “Private conversations,” 2023.
[110] H. Osborn, Advanced Quantum Field Theory. Trinity College, Cambridge, 2013.
[111] A. Schwarz and O. Zaboronsky, “Supersymmetry and localization,” Communications in Mathematical Physics, vol. 183, no. 2, pp. 463–476, jan 1997.
[112] A. Strominger and C. Vafa, “Microscopic origin of the bekenstein-hawking entropy,” Physics Letters B, vol. 379, no. 1-4, pp. 99–104, jun 1996.
[113] A. Strominger, “Black hole entropy from near-horizon microstates,” Journal of High Energy Physics, vol. 1998, no. 02, pp. 009–009, feb 1998.
[114] J. D. Bekenstein, “Black holes and the second law,” Lett. Nuovo Cim., vol. 4, pp. 737–740, 1972.
[115] J. Bekenstein, “Black holes and entropy,” Phys. Rev. D, vol. 7, pp. 2333–2346, Apr 1973. [Online].
Available: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.7.2333
[116] S. W. Hawking, “Gravitational radiation from colliding black holes,” Phys. Rev. Lett., vol. 26, pp. 1344–1346, 1971.
[117] L. Bombelli, R. K. Koul, J. Lee, and R. D. Sorkin, “Quantum source of entropy for black holes,” Phys. Rev. D, vol. 34, pp. 373–383, Jul 1986. [Online]. Available: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.34.373
[118] A. C. Wall, “Proof of the generalized second law for rapidly changing fields and arbitrary horizon slices,” Phys. Rev. D, vol. 85, p. 104049, May 2012. [Online]. Available: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.85.104049
[119] T. Jacobson, “Black holes and hawking radiation in spacetime and its analogues,” in Lecture Notes in Physics. Springer International Publishing, 2013, pp. 1–29.
[120] D. T. Son and A. O. Starinets, “Minkowski-space correlators in AdS/CFT correspondence: recipe and applications,” Journal of High Energy Physics, vol. 2002, no. 09, pp. 042–042, sep 2002.
[121] C. P. Herzog and D. T. Son, “Schwinger-keldysh propagators from AdS/CFT correspondence,” Journal of High Energy Physics, vol. 2003, no. 03, pp. 046–046, mar 2003.
[122] O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri, and Y. Oz, “Large N field theories, string theory and gravity,” Phys. Rept., vol. 323, pp. 183–386, 2000.
[123] P. Minces and V. O. Rivelles, “Energy and the AdS/CFT correspondence,” Journal of High Energy Physics, vol. 2001, no. 12, pp. 010–010, dec 2001.
[124] I. R. Klebanov and E. Witten, “Ads/CFT correspondence and symmetry breaking,” Nuclear Physics B, vol. 556, no. 1-2, pp. 89–114, sep 1999.
