Wie laat je beter de taart snijden? Je jongere dochter of oudere zoon?

Onderzoek naar breuken onthult verschil in accuraatheid en denkstrategieën tussen lager en secundair onderwijs.

Door Ine Meers, Faculteit Psychologie en Pedagogische Wetenschappen (KU Leuven)

Op tafel staat een chocoladetaart. Je vraagt je kinderen om hem eerlijk te verdelen. Je oudste zoon snijdt zonder aarzelen vier gelijke stukken, terwijl je jongere dochter nog twijfelt: “Eerst snij ik hier, nee, of juist daar…?” Eigenlijk gaat haar twijfel minder over gulzigheid en meer over wiskunde dan je zou denken.

Voor haar masterproef onderzocht Ine Meers hoe leerlingen breuken inschatten, niet met een taart, maar op een getallenlijn. Haar studie, met de toepasselijke titel De generatie’breuk’, vergeleek de strategieën die leerlingen uit het zesde leerjaar gebruiken bij het schatten van breuken met die van leerlingen uit het vijfde middelbaar.  Ze richtte zich daarbij op de vraag in welke mate onderwijsniveau bepaalt hoe nauwkeurig leerlingen breuken kunnen inschatten en welke aanpak ze daarbij hanteren.

Breuken: klein getal, grote uitdaging

In de huidige maatschappij komen mensen dagelijks in aanraking met getallen. Deze spelen namelijk een cruciale rol in het weergeven, interpreteren en verwerken van informatie, gaande van het representeren van weersvoorspellingen tot het verdelen van een rekening onder vrienden. Dit veelvuldige gebruik van getallen illustreert de noodzaak van een grondig inzicht in de manier waarop ze in verschillende contexten worden toegepast en geïnterpreteerd. Toch blijkt uit onderzoek dat zelfs opgeleide volwassenen nog worstelen met breuken. Iedereen die ooit 3/4 met 2/3 probeerde te vergelijken, weet hoe misleidend ze kunnen zijn. Breuken vragen immers om te denken in verhoudingen, niet simpelweg in aantallen.

Het Vlaamse onderwijssysteem probeert dat inzicht stap voor stap op te bouwen. Leerlingen leren al vroeg hoe ze een hoeveelheid kunnen opdelen in gelijke delen en hoe breuken, kommagetallen en percentages elkaar aanvullen. Toch blijkt dat het begrip van breuken trager groeit dan dat van andere getallen.

Om te onderzoeken hoe leerlingen van verschillende onderwijsniveaus breuken benaderen, liet Meers meer dan honderd leerlingen breuken plaatsen op een getallenlijn van nul tot één. Op het eerste gezicht leek het een eenvoudige opdracht: geef aan waar bijvoorbeeld 2/9, 5/12 of 15/19 ligt, zonder hulpmiddelen. Maar achter deze ogenschijnlijk simpele taak schuilt een verrassend ingewikkeld denkproces. Bij het plaatsen van breuken op een getallenlijn maken mensen vaak gebruik van verschillende strategieën, oftewel specifieke denkmanieren of aanpakken, om tot een inschatting te komen. Dikwijls gebeurt dit onbewust, zonder dat ze ooit geleerd hebben dat wat ze doen een strategie is. Door te kijken naar welke strategieën mensen gebruiken en hoe ze deze inzetten, krijgen we een beter beeld van hoe breuken écht worden begrepen en waar het soms nog misloopt.

Strategisch denken, niet enkel goed tellen

De resultaten spreken voor zich. Leerlingen uit het vijfde middelbaar hebben veel vaker een correct begrip van breuken en maken minder rekenfouten bij het plaatsen van breuken op de getallenlijn. Waarschijnlijk is dit te danken aan hun ervaring en herhaald oefenen, waardoor ze een dieper inzicht in breuken hebben ontwikkeld. Die ervaring helpt niet alleen bij het begrijpen van verhoudingen en proporties, maar maakt ook het uitvoeren van basisbewerkingen makkelijker. Over het algemeen schatten deze middelbare studenten breuken nauwkeuriger in dan de lagereschoolkinderen. 

Interessant genoeg bleek dat het aantal verschillende strategieën die een leerling gebruikt niet direct samenhangt met de nauwkeurigheid van de schattingen. Dit laat het belang zien van strategie adaptiviteit: niet zozeer het aantal gebruikte strategieën bepaalt de precisie,  maar het vermogen om per situatie de juiste strategie te kiezen.

Daarnaast spelen ook de eigenschappen van de breuken zelf een belangrijke rol. Zowel de grootte van de noemer als de ligging ten opzichte van herkenbare punten op de getallenlijn, zoals het begin, het midden en het einde, beïnvloeden zowel de keuze van strategie als de nauwkeurigheid van de inschatting.

Betekent dit dan dat meer ervaring altijd een voordeel is? Niet noodzakelijk. In sommige gevallen leidt extra kennis zelfs tot foutieve aannames. Zo probeerden de oudere leerlingen soms een breuk te vereenvoudigen met methodes die logisch leken, maar wiskundig incorrect waren. Jongere leerlingen maakten die specifieke fout dan weer niet, simpelweg omdat ze de methode nog niet kenden. Dit laat zien dat meer kennis niet automatisch beter is; het draait er vooral om te weten wanneer en hoe je die kennis juist toepast.

Wat betekent dit voor het klaslokaal?

Hoe nauwkeurig leerlingen breuken inschatten hangt sterk samen met de strategieën die ze gebruiken. Wie bewust nadenkt over hoe hij of zij een breuk aanpakt, doet het vaak beter dan wie zomaar gokt. Het is dus nuttig om strategieën expliciet aan te leren en te oefenen.

Het gezegde “oefening baart kunst” blijkt in de wiskundeles vaak meer dan een cliché. Leerlingen uit het middelbaar hebben door hun ervaring meestal een beter inzicht in breuken. Hoe vaker kinderen de kans krijgen om met breuken te werken, hoe beter ze begrijpen wat deze getallen eigenlijk betekenen.

Toch draait het niet om het aantal strategieën dat een kind leert, maar om het vermogen om de juiste strategie op het juiste moment toe te passen. Leerkrachten kunnen dit stimuleren door verschillende soorten breuken aan te bieden en te bespreken welke aanpak bij welke situatie past. Breuken met grote noemers of waarden dicht bij het midden van de getallenlijn blijken bijvoorbeeld vaak lastiger. Door deze variaties bewust te oefenen, leren leerlingen ook echt redeneren.

Het moraal van het verhaal

Wie laat je dus beter de taart snijden? Statistisch gezien je oudere zoon, die verdeelt de stukken het eerlijkst. Al heeft het ook zo zijn voordelen als de jongste nog wat moeite heeft met breuken, want dan heb jij meer kans op een groter stuk.