Hoe breek je een wereldrecord in de wiskunde?
De Riemann-hypothese is een van de meest beruchte vraagstukken in de wiskunde. Een oplossing zou ons een veel preciezer inzicht geven in de verdeling van priemgetallen en daarmee gevolgen hebben voor talrijke vakgebieden. Onder andere in de cryptografie, die zich specialiseert in het versleutelen van berichten om bijvoorbeeld banktransacties veilig te doen verlopen. In mijn scriptie verbeterde ik een van de beste huidige resultaten rond dit probleem en zette zo een stap dichter naar een oplossing.
Een van de zeven Millenniumproblemen
Ter gelegenheid van de millenniumwisseling stelde het Clay Wiskundig Instituut een lijst op van zeven onopgeloste vraagstukken als leidraad voor wiskundig onderzoek in de 21ste eeuw. Om extra motivatie te bieden, zetten ze op elk probleem een premie van een miljoen dollar. De Riemann-hypothese, oorspronkelijk geformuleerd in 1859, is er een van. Wiskundigen hebben echter nog geen idee in welke richting ze een oplossing moeten vinden.
Dit probleem wordt ook wel omschreven als een van de moeilijkste manieren om miljonair te worden.
Om te begrijpen wat de Riemann-hypothese precies inhoudt, moeten we de nulpunten bestuderen van een bijzondere functie: de Riemann-zèta-functie. Een functie is een abstract concept dat je je kan voorstellen als een soort machine. Je geeft deze machine een getal als input, waarna ze dit volgens een vaste procedure verwerkt tot een nieuw getal als output. Dit proces wordt meestal beschreven via een wiskundige formule. Een nulpunt van zo'n functie is dan een getal dat, wanneer je het in de machine stopt, als output nul geeft. Het doel van de Riemann-hypothese is nu om alle nulpunten te vinden van de Riemann-zèta-functie.
De priemgetalstelling
De Riemann-hypothese kan echter op heel wat manieren beschreven worden. Omdat elke formulering alle andere impliceert, noemen we deze equivalent. Een verrassende, diepgaande en zeer invloedrijke formulering gaat over de verdeling van priemgetallen. Dit zijn positieve gehele getallen die deelbaar zijn door exact twee getallen. Bijvoorbeeld, 7 is een priemgetal omdat het alleen deelbaar is door 1 en 7.
De verdeling van priemgetallen kunnen we grafisch voorstellen door ze te tellen met een zogenaamde trapfunctie. We beginnen bij het getal 0 op hoogte 0. Vervolgens overlopen we de natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4, enzovoort. Elke keer dat we een priemgetal tegenkomen, gaat de trap een trede omhoog. Op die manier houdt de hoogte steeds het aantal priemgetallen bij dat we zijn tegengekomen.
Het probleem is dat er geen duidelijk patroon zit in de plaatsen waar deze treden verschijnen. Daardoor is het interessant om ons af te vragen of we deze trap niet kunnen benaderen met een vloeiende lijn die veel bekender is. Dit zou ons namelijk toelaten om ongeveer te voorspellen waar priemgetallen opduiken. Zulke benadering is daadwerkelijk mogelijk, en de voorkeur gaat meestal uit naar de grafiek van de logaritmische integraalfunctie. Dit fenomeen staat bekend als de priemgetalstelling. Een van de formuleringen van de Riemann-hypothese beschrijft nu hoe goed deze benadering wel niet is. Specifiek suggereert het dat een bepaalde afschatting geldt voor het verschil tussen beide grafieken. Bovendien is het geweten dat deze afschatting praktisch niet beter kan!
Een tussenweg
Aangezien de Riemann-hypothese op dit moment nog buiten bereik ligt, hebben creatieve wiskundigen hun aandacht verschoven naar verwante vraagstukken die makkelijker op te lossen zijn. In het bijzonder probeerden ze de afgelopen honderd jaar om bestaande deelresultaten steeds verder te verbeteren in de hoop langzaamaan naar een oplossing van de Riemann-hypothese toe te werken. Recent is er zelfs een initiatief opgestart, genaamd de Analytic Number Theory Exponent Database, met als doel om de huidige beste resultaten bij te houden. Hiernaast levert dit onderzoek al mooie stellingen op rond priemgetallen, zoals een schatting voor het aantal priemgetallen in intervallen van relatief kleine lengtes.
Een van deze tussenwegen, en het onderwerp van mijn scriptie, zijn zogenaamde nulpuntdichtheidsschattingen voor de Riemann-zèta-functie. Zonder exacte nulpunten te vinden, probeerde ik via een geavanceerde wiskundige methode een afschatting te bekomen voor het aantal nulpunten in bepaalde gebieden. Deze gebieden zijn niet willekeurig gekozen: indien de Riemann-hypothese waar is, bevatten ze geen enkel nulpunt! Hoe kleiner de afschatting, hoe dichter we dus komen bij een oplossing voor dit lang onopgelost probleem.
Een wereldrecord
Dit brengt ons bij de hoofdstelling van mijn scriptie. Hierin kon ik namelijk een nieuwe afschatting bewijzen die kleiner is dan alle vorige in een bepaald gebied, wat dus leidde tot een wereldrecord. Om te begrijpen hoe dit mogelijk is, moet je weten dat verschillende onderwerpen binnen de analytische getaltheorie (het vakgebied waarin dit onderwerp zich bevindt) sterk verweven zijn met elkaar. Nieuwe resultaten in het ene onderwerp hebben namelijk al snel gevolgen voor andere. Op die manier verliezen wiskundigen makkelijk het overzicht en zien ze sommige implicaties van hun bevindingen over het hoofd. Dit biedt anderen de kans om deze resultaten met theorie uit verwante deelgebieden te combineren tot nieuwe verbeteringen.
Een onderwerp dat bijzonder veel toepassingen heeft en in recente jaren heel wat vooruitgang zag, is dat van exponentparen. Deze komen in veel methoden voor als een parameter die optimaal gekozen moet worden. Zo las ik tijdens mijn onderzoek over een methode die 50 jaar geleden werd gebruikt door Aleksandar Ivić om een van de huidige beste nulpuntdichtheidsschattingen te verkrijgen. Ook deze hing af van de keuze van een exponentpaar, maar Ivić had in die tijd minder mogelijkheden ter beschikking. Dankzij de recente bevindingen in dit vakgebied kon ik echter een betere keuze maken, wat leidde tot een kleinere en dus betere afschatting.
Wil je zelf een wiskundig wereldrecord neerzetten? Dan richt je je best op een actief onderzoeksdomein met heel wat recente ontwikkelingen. Daarnaast helpt het om inzicht te krijgen in de verbanden tussen verschillende subdomeinen, in het bijzonder waar nieuwe verbeteringen andere opleveren. Met wat geluk lukt het dan om recente resultaten toe te passen op een gerelateerd onderwerp en zo je eigen wereldrecord neer te zetten. Zelf ben ik ervan overtuigd dat mijn resultaat uiteindelijk op die manier verbroken zal worden.
Bibliografie
[1] R. C. Baker, G. Harman and J. Pintz, The difference between consecutive primes,
Proceedings of the London Mathematical Society, vol. 83, no. 3, pp. 532–562, 2001.
[2] D. Bhatta and L. Debnath, Integral transforms and their applications, 3rd ed., CRC
Press, 2015.
[3] Y. Bicheng and C. Qiang, A survey on the study of Hilbert-type inequalities, Journal
of Inequalities and Applications, vol. 2015, Article no. 302.
[4] E. Bombieri and H. Iwaniec, On the order of ζ(1/2 + it), Annali della Scuola Normale
Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Serie 4, vol. 13, no. 3, pp. 449–472, 1986.
[5] E. Bombieri and H. Iwaniec, Some mean-value theorems for exponential sums, Annali
della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Serie 4, vol. 13, no. 3, pp.
473–486, 1986.
[6] J. Bourgain, On large values estimates for Dirichlet polynomials and the density
hypothesis for the Riemann Zeta function, International Mathematics Research
Notices, vol. 3, pp. 133–146, 2000.
[7] J. Bourgain, Decoupling, exponential sums and the Riemann zeta function, Journal of
the American Mathematical Society, vol. 30, no. 1, pp. 205–224, 2017.
[8] E. Carneiro and F. Littmann, Monotone extremal functions and the weighted Hilbert’s
inequality, Portugaliae Mathematica, vol. 81, no. 1/2, pp. 127–134, 2024.
[9] B. Chen, G. Debruyne, and J. Vindas, On the density hypothesis for L-functions
associated with holomorphic cusp forms, Revista Matematica Iberoamericana, vol. 40,
no. 6, pp. 2179–2202, 2024.
[10] J. B. Conrey, D. W. Farmer, J. P. Keating, M. O. Rubinstein, and N. C. Snaith,
Integral moments of L-functions, Proceedings of the London Mathematical Society,
vol. 91, no. 1, pp. 33–104, 2005.
[11] H. Cram´er, On the order of magnitude of the difference between consecutive prime
numbers, Prace Matematyczno-Fizyczne, vol. 45, no. 1 , pp. 51–74, 1937.
[12] K. Ford, B. Green, S. Konyagin, J. Maynard and T. Tao, Long gaps between primes,
Journal of the American Mathematical Society, vol. 31, no. 1, pp. 65–105, 2018.
[13] L. Guth and J. Maynard, New large value estimates for Dirichlet polynomials, Annals
of Mathematics, vol. 203, no. 2, pp. 623–675, 2026.
[14] G. H. Hardy and J. E. Littlewood, Contributions to the theory of the Riemann zeta-
function and the theory of the distribution of primes, Acta Mathematica, vol. 41,
pp. 119–196, 1918.
[15] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. P´olya, Inequalities, Cambridge University Press,
1934.
[16] D. R. Heath-Brown, The fourth power moment of the Riemann zeta-function,
Proceedings of the London Mathematical Society, vol. s3-38, no. 3, pp. 385–422, 1979.
[17] D. R. Heath-Brown, Fractional moments of the Riemann zeta-function, Journal of
the London Mathematical Society, vol. 24, no. 2, pp. 65–78, 1981.
[18] D. R. Heath-Brown, A new k-th derivative estimate for exponential sums via
Vinogradov’s mean value. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics,
vol. 296, pp. 88–103, 2017.
[19] M. N. Huxley, On the difference between consecutive primes, Inventiones
Mathematicae, vol. 15, pp. 164–170, 1972.
[20] A. E. Ingham, Mean-value theorems in the theory of the Riemann zeta-function,
Proceedings of the London Mathematical Society, vol. s2-27, no. 1, pp. 273–300, 1928.
[21] A. E. Ingham, On the estimation of N (σ, T ), Quarterly Journal of Mathematics,
vol. 11, no. 1, pp. 201–202, 1940.
[22] A. Ivi´c, The Riemann zeta-function: theory and applications, Dover Publications,
2003.
[23] H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic number theory, American Mathematical
Society, Colloquium Publications, vol. 53, 2004.
[24] J. P. Keating and N. C. Snaith, Random Matrix Theory and ζ(1/2 + it),
Communications in Mathematical Physics, vol. 214, pp. 57–89, 2000.
[25] N. M. Korobov, Estimates of trigonometric sums and their applications, Uspekhi
Matematicheskikh Nauk, vol. 13, pp. 185–192, 1958. (Russian)
[26] J. E. Littlewood, On the zeroes of the Riemann zeta-function, Mathematical
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 22, no. 3, pp. 295–318, 1924.
[27] H. L. Montgomery, Topics in multiplicative number theory, Lecture notes in
mathematics, vol. 227, Springer-Verlag, 1971.
[28] N. Ng, The sixth moment of the Riemann zeta function and ternary additive divisor
sums, Discrete Analysis, vol. 2021, Article no. 6.
[29] N. Ng, Q. Shen and P.-J. Wong, The eighth moment of the Riemann zeta
function, Journal of the European Mathematical Society, published online first,
DOI: 10.4171/JEMS/1568, 2025.
[30] M. Radziwi l l, The 4.36-th moment of the Riemann zeta-function, International
Mathematics Research Notices, vol. 2012, no. 18, pp. 4245–4259, 2012.
[31] K. Ramachandra, Some remarks on the mean value of the Riemann zeta-function
and other Dirichlet series, Hardy-Ramanujan Journal, vol. 3, pp. 1–15, 1980.
[32] B. Riemann, ¨Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr¨oße,
Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859, pp. 671–680.
[33] R. Shakarchi and E. M. Stein, Complex analysis, Princeton Lectures in Analysis II,
Princeton University Press, 2003.
[34] K. Soundararajan, Moments of the Riemann zeta-function, Annals of Mathematics,
vol. 170, no. 2, pp. 981–993, 2009.
[35] T. Tao, T. Trudgian, A. Yang, New exponent pairs, zero density estimates, and zero
additive energy estimates: a systematic approach, Mathematics of Computation, in
press, DOI: https://doi.org/10.1090/mcom/4138.
[36] T. Tao, T. Trudgian and A. Yang, The analytic number theory exponent database,
https://github.com/teorth/expdb, accessed May, 2026.
[37] G. Tenenbaum, Introduction to analytic and probabilistic number theory, Graduate
Studies in Mathematics, vol. 163, American Mathematical Society, 2015.
[38] E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta-function, 2nd ed., revised by
D. R. Heath-Brown, Oxford University Press, 1986.
[39] T. S. Trudgian and A. Yang, Toward optimal exponent pairs, Mathematics of
Computation, vol. 94, pp. 1467–1502, 2025.
[40] J. D. Vaaler, Some extremal functions in Fourier analysis, Bulletin of the American
Mathematical Society (New Series), vol. 12, no. 2, pp. 183–216, 1985.
[41] I. M. Vinogradov, A new estimate for ζ(1 + it), Izvestiya Akademii Nauk SSSR,
Seriya Matematicheskaya, vol. 22, pp. 161–164, 1958. (Russian)
[42] G. N. Watson and E. T. Whittaker, A course of modern analysis, 5th ed., Cambridge
University Press, 2021.
