De kijk op meetkunde van leerlingen, een verborgen variabele.
Hou jij van wiskunde? Gebruik jij wat je leerde tijdens de wiskundelessen in je persoonlijk leven? Of behoor je tot één van de velen die wiskunde vrezen, niet begrijpen of zelfs haten? Besef dan dat jou kijk op wiskunde ondermeer tot stand gekomen is door de wijze waarop je wiskundeonderwijs kreeg (Boaler, 2010) Kan het wiskundeonderwijs van de toekomst zo aangepakt worden dat je als later lid van de maatschappij iets aan wiskunde hebt, en er met plezier op terugblikt?
Een studente van de 2de Master wiskunde aan de Universiteit Antwerpen, Hilde Hoegaerts, beweert van wel. In haar scriptie onderzocht ze hoe een leerkracht tijdens de wiskundeles kan bijdragen tot het ontstaan van een wiskundige houding bij de leerlingen. Een `wiskundige houding' (a ‘mathematical disposition’, De Corte & Verschaffel, 2006) veronderstelt een positieve bereidheid om wat je leerde in de wiskundeles op spontane, inzichtelijke en creatieve wijze toe te passen op de problemen waarmee je in je dagelijks leven geconfronteerd wordt. En deze bereidheid heeft veel te maken met de ‘beliefs’ die je omtrent wiskunde hebt. Geloof ook jij ten onrechte dat wiskunde slechts een automatisering is van technieken en geen inzicht en creativiteit vergt? Dan heeft je foute kijk (‘beliefs’, Schoenfeld, 1985) op wiskunde onvermijdelijk negatieve gevolgen voor de houding die je zal aannemen bij het oplossen van een nieuw en uitdagend probleem. Hierdoor zal je vaardigheid om zelf problemen wiskundig op te lossen, onvermijdelijk afnemen.
Concreet voerde Hilde Hoegaerts onder promotorschap van Johan Deprez een ontwikkelingsonderzoek uit naar de kijk op euclidische meetkunde van leerlingen van 4ASO. Ze ontwierp een alternatieve lessenreeks over de cirkel waarin de ontwikkeling van positieve beliefs omtrent euclidische cirkelmeetkunde centraal stond. Tijdens het geven van de lessenreeks probeerde ze de leerlingen ondermeer te laten inzien dat deductie vaak een snellere oplossingsstrategie is voor een probleem dan gissen en missen, dat definities en stellingen niet willekeurig gekozen zijn, maar realiteiten beschrijven die zinvol zijn en door henzelf gevonden kunnen worden. Ook op de betekenis van bewijzen en op het zelf bewijzen van eigenschappen werd gewerkt.
Ongewoon voor een wiskundige is het gebruik van psychologische, kwalitatieve onderzoekstechnieken. Door persoonlijke diepte-interviews met leerlingen en door lesobservaties verkreeg Hilde Hoegaerts namelijk informatie over de kijk van de leerlingen op cirkelmeetkunde.
Resultaat van het onderzoek was dat drie factoren tijdens wiskundelessen een invloed hebben op de beliefs van leerlingen. Eerst en vooral werd tijdens de lessenreeks een concreet probleem aangepakt: de constructie van een graancirkel. Er werd expliciet over de aanpak van het probleem gepraat. Bovendien werden er gedachtenexperimenten gedaan en werd geschikt visueel materiaal gezocht. Hierdoor waanden de leerlingen zich tijdens de lessen regelmatig op een graanveld gewapend met hamer en koord (‘realistisch meetkundeonderwijs’ Freudenthal,1973). Vanuit hun vertrouwdheid met de extreme rondheid van cirkels, waardoor elk punt van een cirkel even ver van een middelpunt gelegen is, slaagden de leerlingen erin om stapsgewijs de cirkelmeetkunde terug uit te vinden (‘re-invention’ Freudenthal) Tenslotte probeerde de leerkracht zoveel mogelijk door te dringen in de persoonlijke gedachtenwereld van elke leerling. Tijdens de lessen mochten leerlingen met elkaar overleggen, alle antwoorden of opmerkingen waren welkom. In een kringgesprek werd met gesloten ogen diep nagedacht over de verklaring van een eigenschap. De leerlingen kregen ook de tijd om zelf op zoek te gaan naar het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek. Samen werd er gefilosofeerd over het bestaan van een punt of een cirkel, en de historiek van de deductieve methode werd besproken.
De beliefs van de leerlingen bleken na de lessenreeks verbeterd. Het ging echter om een beperkt onderzoek, dat op veel grotere schaal moet gebeuren om echt betekenisvol te zijn.
De logische orde van wiskunde is iets wat elke wiskundige fascineert en bekoort (Freudenthal, 1973). Toch geloof ik dat het mogelijk is om in het onderwijs aan deze bekoring te weerstaan en de leerlingen een wiskunde aan te bieden die ze kunnen begrijpen en die ze graag willen gebruiken in hun persoonlijk leven.
