Methods for tensor networks and applications in statistical physics

Pieter Bogaert
Help, mijn conciërge is een theoretische fysicus  Beeld je een enorm appartementsgebouw in, met allemaal dezelfde appartementen, gang na gang, verdieping na verdieping. Er zijn schilderwerken gepland en de conciërge moet voor elke flat achterhalen in welke kleur de bewoners hun keuken het liefst laten schilderen. Stel nu dat de bewoners bepaalde regels volgens die afhangen van de keuze van de buren, bijvoorbeeld: als de bovenbuur een lichte kleur neemt, dan wil de onderbuur een donkere, en omgekeerd.

Methods for tensor networks and applications in statistical physics

Help, mijn conciërge is een theoretische fysicus

 

 

Beeld je een enorm appartementsgebouw in, met allemaal dezelfde appartementen, gang na gang, verdieping na verdieping. Er zijn schilderwerken gepland en de conciërge moet voor elke flat achterhalen in welke kleur de bewoners hun keuken het liefst laten schilderen. Stel nu dat de bewoners bepaalde regels volgens die afhangen van de keuze van de buren, bijvoorbeeld: als de bovenbuur een lichte kleur neemt, dan wil de onderbuur een donkere, en omgekeerd. Hoe moet de conciërge dan aan ieder appartement een kleur toewijzen zodat iedereen zo gelukkig mogelijk is?

 

Dit verhaal lijkt op het eerste gezicht niet op theoretische fysica. Maar als je theoretische fysica wil uitleggen, is het eerste probleem vaak dat je een grondige kennis wiskunde nodig hebt om het écht te begrijpen. 

Soms gaat dit nog gepaard met een tweede probleem. De theoretische veeldeeltjesfysica, bijvoorbeeld, is een tak van de fysica die zich bezighoudt met hoe deeltjes die onderling allemaal met elkaar interageren, zich samen gedragen. Als theoretische fysici hiernaar onderzoek doen, kijken ze vaak niet naar een specifiek systeem zoals een bepaald metaal, maar naar een abstract systeem met bijvoorbeeld twee toestanden, dat een hele resem praktische systemen kan voorstellen: een lamp die aan of uit is, een bit die 0 of 1 is, en waarom niet de kleur van een keuken die licht of donker kan zijn. Dat systeem wordt dan een ‘deeltje’ genoemd, omdat er veel modellen bestaan die opgesteld zijn voor deeltjes zoals elektronen, die ook twee toestanden hebben (elektronen hebben een eigenschap ‘spin’ die ofwel naar boven ofwel naar beneden kan wijzen). Omdat de systemen dus vaak abstract zijn, is het moeilijk om ze begrijpelijk uit te leggen.

 

Om ondanks deze twee moeilijkheden toch op een eenvoudige en niet-wiskundige manier de boodschap van mijn thesisonderzoek over te brengen, neem ik dus mijn toevlucht tot een verzonnen vraagstuk. Het decor is een appartementsgebouw, omdat daar de ordening van de appartementen gelijkenissen vertoont met hoe de deeltjes in het echte onderzoek vaak geordend zijn, namelijk in een roosterstructuur.

 

Laat ons eerst nog wat meer aannames maken. Ten eerste maken we het de conciërge (de fysicus) gemakkelijk door de bewoners (deeltjes) maar twee keuzes (toestanden) te geven: azuur (A) of beige (B).

Ten tweede moeten we kijken naar de regels waaraan de bewoners zich houden. Hiervoor nemen we aan dat ze enkel rekening houden met hun directe buren, en niet met de rest van het gebouw. Dat wil zeker niet zeggen dat mensen die ver uiteen wonen, elkaar niet kunnen beïnvloeden (want elk appartement beïnvloedt o.a. zijn rechterbuur, en dat op zijn beurt weer zijn rechterbuur, enz.). Ze kunnen elkaar gewoon niet direct beïnvloeden. Wat de precieze regels zelf zijn laten we nog even in het midden.

 

De vraag is nu hoe de conciërge te werk moet gaan. Een mogelijke aanpak is om eerst willekeurig ieder appartement een kleur A of B toe te wijzen. Dan gaat de conciërge in een willekeurige volgorde langs verschillende appartementen en vraagt de bewoners of ze liever zouden veranderen. Als hij dit maar lang genoeg en op de juiste manier doet, dan blijkt deze methode te werken (en ook al lijkt ze uiterst vermoeiend voor de conciërge, voor huidige computers vormt deze methode geen groot probleem). Door het belang van willekeur in deze soort technieken, noemt men ze Monte Carlomethodes.

Maar… voor systemen met kwantumgedrag voldoen deze methodes soms niet. Gelukkig bestaat er een alternatief, namelijk het ‘tensornetwerkformalisme’. Dit vraagt om een woordje uitleg. De eerste stap is om een zogenaamd tensornetwerk op te bouwen. Een netwerk vraagt om verbindingen: daarvoor worden alle appartementen verbonden die direct met elkaar kunnen interageren (de directe buren dus).

Op elke verbinding wordt dan een ‘tensor’ geplaatst, en in elk appartement ook. Tensoren zijn wiskundige objecten en kan je grofweg beschouwen als een veralgemening van vectoren en matrices, die sommigen wellicht bekend in de oren klinken. In ons geval beschrijven de tensoren tussen de appartementen de regels waaraan de bewoners zich houden bij de keuze van hun kleur. De tensoren zijn dus een soort Legoblokjes die wanneer ze samengezet worden het hele appartementsgebouw beschrijven. Eens het tensornetwerk is opgebouwd kan er een hele wiskundige machinerie op losgelaten worden, die uiteindelijk aan de conciërge duidelijk zal maken hoeveel potten van verf A en hoeveel van verf B hij moet kopen voor zijn bewoners. De precieze opbouw van die wiskundige methode was het onderwerp van mijn thesis.

 

Als je wil testen of een methode werkt, is het aangewezen om hem eerst te testen op een gemakkelijk, gekend systeem. Als de methode daar het juiste antwoord geeft, dan kan je ze met meer vertrouwen toepassen op andere, nog ongekende systemen.

Om te eindigen bespreken we dus kort de makkelijkste interactieregel in ons geval: “Elke bewoner wil hetzelfde als zijn buren.” Het is duidelijk dat dan heel het appartement ofwel kiest voor A, ofwel voor B. In de fysica is dit het zogenaamde klassieke Isingmodel (naar de Duitse fysicus Ernst Ising), voor temperatuur nul.

Maar naarmate de temperatuur stijgt, blijkt uit de fysica dat de keuze geleidelijk aan 50/50 wordt, ondanks de regels. Een mogelijke variant van ons vraagstuk die dit gedrag nabootst, is om een eigenwijze puber die lak heeft aan de regels, aan elk appartement toe te voegen… 

Ising had zelf niet verwacht dat zijn model dit verschillende gedrag zou vertonen bij lage en hoge temperatuur, maar dat bleek later net heel interessant. Varianten van zijn model worden ondertussen zowel in de fysica gebruikt als in andere domeinen, zoals biologie en economie, en met dit artikel dus ook in de interieurdecoratie.

 

Deze illustratie van een eenvoudig probleem uit de veeldeeltjesfysica geeft natuurlijk niet alle finesses en mogelijkheden van het tensornetwerkformalisme weer. Daar wordt nog veel onderzoek naar gedaan - en ik heb daar in mijn thesisonderzoek een bijdrage aan proberen leveren -, maar het staat vast dat het formalisme zich al ruimschoots bewezen heeft in een hele reeks vraagstukken binnen de veeldeeltjesfysica.

Bibliografie
  1. [1]  R. J. Baxter. Exactly Solved Models in Statistical Mechanics. Academic Press, 1982.

  2. [2]  K. Binder and E. Luijten. Monte Carlo tests of Renormalization-Group predictions for

    critical phenomena in Ising models. Physics Reports, 344:179–253, 2001.

  3. [3]  C. Bonati. The Peierls argument for the higher dimensional Ising models. European Journal

    of Physics, 35(3):035002, 2014.

  4. [4]  S. Bornholdt and F. Wagner. Stability of money: phase transitions in an Ising economy.

    Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 316(1-4):453–468, 2002.

  5. [5]  P. Calabrese and J. Cardy. Entanglement entropy and quantum field theory. Journal of

    Statistical Mechanics: Theory and Experiment, page 06002, 2004.

  6. [6]  J. I. Cirac. Entanglement in many-body quantum systems. arXiv:1205.3742 [quant-ph],

    2012.

  7. [7]  N. Van den Bergh. Wiskundige ingenieurstechnieken. Lecture notes UGent, 2010.

  8. [8]  R. L. Dobrushin. Existence of a phase transition in two-dimensional and three-dimensional Ising models. Theory of Probability and its Applications, 10(2):193–213, 1965.

  9. [9]  J. Eisert. Entanglement and tensor network states. arXiv:1308.3318v2 [quant-ph], 2013.

  10. [10]  A. M. Ferrenberg and D. P. Landau. Critical behavior of the three-dimensional Ising model:

    A high-resolution Monte Carlo study. Physical Review B, 44(10):5081–5091, 1991.

  11. [11]  M. E. Fisher. Critical temperatures of anisotropic Ising lattices. II. General upper bounds.

    Physical Review, 162(2):480–485, 1967.

  12. [12]  M. E. Fisher and M. F. Sykes. Excluded-volume problem and the Ising model of ferromag-

    netism. Physical Review, 114(1):45–58, 1959.

  13. [13]  J. Fröhlich, B. Simon, and T. Spencer. Infrared bounds, phase transitions and continuous

    symmetry breaking. Communications in Mathematical Physics, 50(1):79–95, 1976.

  14. [14]  G. Galilei. Dialogo sopra i due Massimi Sistemi del Mondo Tolemaico e Copernicano. 1632.

  15. [15]  A. García-Sáez and J. I. Latorre. Renormalization Group contraction of tensor networks in three dimensions. Physical Review B, 87(8):085130, 2013.

  16. [16]  G. H. Golub and C. F. Van Loan. Matrix computations. Johns Hopkins University Press, 3rd edition, 1996.

  17. [17]  R. B. Griffiths. Correlations in Ising ferromagnets. III. A mean-field bound for binary correlations. Communications in Mathematical Physics, 6:121–127, 1967.

  1. [18]  J. Haegeman. Variational Renormalization Group methods for extended quantum systems.

    PhD Thesis, 2011.

  2. [19]  M. B. Hastings. Solving gapped Hamiltonians locally. Physical Review B, 73(8):085115,

    2006.

  3. [20]  M. B. Hastings. An area law for one-dimensional quantum systems. Journal of Statistical

    Mechanics: Theory and Experiment, page 08024, 2007.

  4. [21]  W. K. Hastings. Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications.

    Biometrika, 57(1):97–109, 1970.

  5. [22]  A. Irbäck, C. Peterson, and F. Potthast. Evidence for nonrandom hydrophobicity structures in protein chains. Proceedings of the National Academy of Sciences, USA, 93:9533–9538, 1996.

  6. [23]  E. Ising. Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus. Zeitschrift fu ̈r Physik, 1925.

  7. [24]  J. Jordan, R. Orús, G. Vidal, F. Verstraete, and J. I. Cirac. Classical simulation of infinite-size quantum lattice systems in two spatial dimensions. Physical Review Letters, 101(25):250602, 2008.

  8. [25]  H. G. Katzgraber. Introduction to Monte Carlo methods. arXiv:0905.1629v3 [cond- mat.stat-mech], 2009.

  9. [26]  H. A. Kramers and G. H. Wannier. Statistics of the two-dimensional ferromagnet. Part I. Physical Review, 60(3):252–262, 1941.

  10. [27]  M. Lubasch, J. I. Cirac, and M.-C. Bañuls. Unifying Projected Entangled Pair States contractions. New Journal of Physics, 16(3):033014, 2014.

  11. [28]  J. Majewski, H. Li, and J. Ott. The Ising model in physics and statistical genetics. American Journal of Human Genetics, 69(4):853–862, 2001.

  12. [29]  N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E. Teller. Equation of state calculations by fast computing machines. Journal of Chemical Physics, 21:1087–1092, 1953.

  13. [30]  N. Metropolis and S. Ulam. The Monte Carlo method. Journal of the American Statistical Association, 44(247):335–341, 1949.

  14. [31]  V. Murg, J. I. Cirac, B. Pirvu, and F. Verstraete. Matrix Product Operator representations. New Journal of Physics, 12(2):025012, 2009.

  15. [32]  L. Onsager. Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition. Physical Review, 65(3-4):117–149, 1944.

  16. [33]  R. Orús. Exploring corner transfer matrices and corner tensors for the classical simulation of quantum lattice systems. Physical Review B, 85(20):205117, 2012.

  17. [34]  R. Orús. A practical introduction to tensor networks: Matrix Product States and Projected Entangled Pair States. arXiv:1306.2164v2 [cond-mat.str-el], 2013.

  18. [35]  R. Orús and G. Vidal. The iTEBD algorithm beyond unitary evolution. Physical Review B, 78(15):155117, 2008.

  1. [36]  R. Orús and G. Vidal. Simulation of two dimensional quantum systems on an infinite lattice revisited: corner transfer matrix for tensor contraction. Physical Review B, 80(9):094403, 2009.

  2. [37]  R. Peierls. On Ising’s model of ferromagnetism. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 32(3):477–481, 1936.

  3. [38]  D. Pérez-García, F. Verstraete, J. I. Cirac, and M. M. Wolf. PEPS as unique ground states of local Hamiltonians. Quantum Information and Computation, 8:0650–0663, 2008.

  4. [39]  D. Pérez-García, F. Verstraete, M. M. Wolf, and J. I. Cirac. Matrix Product State repre- sentations. Quantum Information and Computation, 7(5):401–430, 2007.

  5. [40]  T. Preis, P. Virnau, W. Paul, and J. J. Schneider. GPU accelerated Monte Carlo simulation of the 2D and 3D Ising model. Journal of Computational Physics, 228(12):4468–4477, 2009.

  6. [41]  N. Schuch. Condensed matter applications of entanglement theory. arXiv:1306.5551 [quant- ph], 2013.

  7. [42]  N.Schuch and J.I.Cirac.MatrixProductStateandmeanfieldsolutionsforone-dimensional systems can be found eciently. Physical Review A, 82(1):012314, 2010.

  8. [43]  T. D. Schultz, D. C. Mattis, and E. H. Lieb. Two-dimensional Ising model as a soluble problem of many fermions. Review of Modern Physics, 36(3):856–871, 1964.

  9. [44]  A. L. Talapov and H. W. J. Blöte. The magnetization of the 3D Ising model. Journal of Physics A: Mathematical and General, 29(17):5727, 1996.

  10. [45]  F. Verstraete and J. I. Cirac. Renormalization algorithms for quantum-many body systems in two and higher dimensions. arXiv:cond-mat/0407066v1 [cond-mat.str-el], 2004.

  11. [46]  F. Verstraete and J. I. Cirac. Matrix Product States represent ground states faithfully. Physical Review B, 73(9):094423, 2006.

  12. [47]  F. Verstraete, V. Murg, and J. I. Cirac. Matrix Product States, Projected Entangled Pair States, and variational Renormalization Group methods for quantum spin systems. Advances in Physics, 57(2):143–224, 2008.

  13. [48]  F. Verstraete, D. Porras, and J. I. Cirac. Density Matrix Renormalization Group and periodic boundary conditions: a quantum information perspective. Physical Review Letters, 93(22):227205, 2004.

  14. [49]  F. Verstraete, M. M. Wolf, D. Perez-Garcia, and J. I. Cirac. Criticality, the area law, and the computational power of PEPS. Physical Review Letters, 96(22):220601, 2006.

  15. [50]  J. O. Vigfusson. Upper bound on the critical temperature in the 3D Ising model. Journal of Physics A: Mathematical and General, 18(17):3417, 1985.

  16. [51]  J.-C. Walter and G. Barkema. An introduction to Monte Carlo methods. arXiv:1404.0209v1 [cond-mat.stat-mech], 2014.

  17. [52]  M. M. Wolf, F. Verstraete, M. B. Hastings, and J. I. Cirac. Area laws in quantum systems: mutual information and correlations. Physical Review Letters, 100(7):070502, 2008.

  18. [53]  C. N. Yang. The spontaneous magnetization of a two-dimensional Ising model. Physical Review, 85(5):808–816, 1952. 

Universiteit of Hogeschool
Engineering Physics
Publicatiejaar
2014
Kernwoorden
Share this on: